演習問題

次のことを証明せよ．

${\displaystyle z=\frac{1}{x}f\left(\frac{y}{x}\right)}$ ならば ${\displaystyle x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}+z=0}$ である．

${\displaystyle z=xf\left(ax+by\right)+yg\left(ax+by\right)}$ ならば

${\displaystyle b^2\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}-2ab\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}+a^2\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=0}$

であることを示せ．