問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

偏微分を含む証明

■問題

次のことを証明せよ．

${\displaystyle z=\frac{1}{x}f\left(\frac{y}{x}\right)}$ ならば ${\displaystyle x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}+z=0}$ である．

■ヒント

${\displaystyle z}$ を ${\displaystyle x,y}$ でそれぞれ偏微分し，２式を連立させる． このとき，積の微分と合成関数の微分を用いる．

■解説

${\displaystyle u=\frac{y}{x}}$ とおくと

${\displaystyle z=\frac{1}{x}f\left(u\right)}$ ， ${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{y}{x^2}}$ ， ${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{x}}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する（ここを参照）．

${\displaystyle =-\frac{1}{x^2}·f\left(\frac{y}{x}\right)-\frac{y}{x^3}·f^{\prime }\left(\frac{y}{x}\right)}$

より

${\displaystyle -\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{1}{x^2}f\left(\frac{y}{x}\right)=\frac{y}{x^3}{f}^{\prime }\left(\frac{y}{x}\right)}$

${\displaystyle -\frac{x^3}{y}·\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{x}{y}f\left(\frac{y}{x}\right)=f^{\prime }\left(\frac{y}{x}\right)}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する（ここを参照）．

${\displaystyle =0·f\left(u\right)+\frac{1}{x}·f^{\prime }\left(\frac{y}{x}\right)·\frac{1}{x}}$

${\displaystyle =\frac{1}{x^2}·f^{\prime }\left(\frac{y}{x}\right)}$

より

${\displaystyle x^2·\frac{\partial z}{\partial y}=f^{\prime }\left(\frac{y}{x}\right)}$

以上から

${\displaystyle -\frac{x^3}{y}·\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{x}{y}f\left(\frac{y}{x}\right)=x^2·\frac{\partial z}{\partial y}}$

${\displaystyle \frac{x^3}{y}·\frac{\partial z}{\partial x}+x^2·\frac{\partial z}{\partial y}+\frac{x}{y}f\left(\frac{y}{x}\right)=0}$

両辺に ${\displaystyle \frac{y}{x^2}}$ をかける．

${\displaystyle x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}+\frac{1}{x}f\left(\frac{y}{x}\right)=0}$

${\displaystyle z=\frac{1}{x}f\left(\frac{y}{x}\right)}$ を代入する．

${\displaystyle x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}+z=0}$

 

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>偏微分>>問題演習>>偏微分を含む証明

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月25日

[ページトップ]

利用規約

google translate (English version)