偏微分の問題演習

  1. 次の関数を偏微分せよ.
    button z=x2y  解答 button z= x 2 + y 2  解答
    button z= x 2 3xy+2 y 2  解答 button z= y x  解答 
    button z= xy x+y  解答 button z= 3x4y  解答
    button z= e xy  解答 button z=log( xy )  解答
    button z=2sin xy  解答 button z= tan 1 y x  解答
    button z= x 3 +3 x 2 y+2 y 3  解答 button z= e ax    ( sinby+cosby )  解答
    button f( x,y )= 5x+3y 3x+2y  解答 button f( x,y )= x y  解答
  2. 次の関数について x f( 1,2 ) y f( 1,2 ) を求めよ.
    button f( x,y )= x 2 +xy y 2  解答 button f( x,y )= x 2 xy  解答
    button f( x,y )= sin 1 x y  解答      
  3. 次のことを証明せよ.
    button z=f( y x ) ならば x z x +y z y =0 である.  解答
    button z=f( x 2 y 2 )   ならば y z x +x z y =0 である.  解答
    button z= 1 x f( y x ) ならば x z x +y z y +z=0 である.  解答
    button z=log x 2 + y 2 ならば ( z x ) 2 + ( z y ) 2 = 1 e 2z である.  解答
  4. 次の関数の dz dt を求めよ.
    button z=f( x,y ),
          x=a+ht,y=b+kt
     解答 button z= x 2 + y 2 ,
          x=tsint,y=1cost
     解答
    button z=xy,
          x=2 t 2 +1,y= t 2 +3t+1
     解答 button z=xtany,
          x= sin 1 2t,y= cos 1 2t
     解答
  5. 次のことを示せ.

    button  z = f ( x , y ) , x = r cos θ , y = r sin θ ならば

    ( z x ) 2 + ( z y ) 2 = ( z r ) 2 + 1 r 2 ( z θ ) 2

    となる.

     解答

    button  z = f ( x , y ) , x = u cos α v sin α , y = u sin α + v cos α ならば

    ( z x ) 2 + ( z y ) 2 = ( z u ) 2 + ( z v ) 2

    となる.

     解答
  6. 次の関数の第2次偏導関数を求めよ.
    button z=3x2y  解答 button z= x 3 + y 3  解答
    button z=2 x 2 3xy+4 y 2  解答 button z= y x  解答
    button z= xy x+y  解答 button z= 2x3y  解答
    button z= e xy  解答 button z=log( xy )  解答
    button z=sin xy  解答 button z= tan 1 y x  解答
  7. 次の関数の第2次偏導関数を求めよ.
    button z=f( x,y ),
          x=tsint,y=1cost
     解答
    button z=f( x,y ),
          x=2 t 2 3,y= t 2 +3t+7
     解答
  8. 次のことを示せ.

    button  z = f ( x , y ) , x = u cos θ v sin θ , y = u sin θ + v cos θ のとき

    2 z x 2 + 2 z y 2 = 2 z u 2 + 2 z v 2

    となる.

     解答

    button z = f ( x , y ) , x = r cos θ , y = r sin θ のとき

    2 z x 2 + 2 z y 2 = 2 z r 2 + 1 r z r + 1 r 2 2 z θ 2

    となる.

     解答
  9. 次のことを示せ.

    button  y=f( x,t ) において,1次元の波動方程式

    2 y t 2 = c 2 2 y x 2

    ξ=xct,η=x+ct なる変換を行うと

    2 y ηξ =0

    となる.

     解答

     button z に関する方程式

    2 z t 2 = c 2 ( 2 z r 2 + 2 r z r )

    において, z = 1 r u とおき, u に関する方程式に変換すると

    2 u t 2 = c 2 2 u r 2

    となる

     解答
  10. 次の関係で定義される陰関数 y=ϕ( x ) について d 2 y d x 2 を求めよ.
    button 3 x 2 +2xy+ y 2 =1  解答 button y 2 =4px  解答
    button x 2 a 2 + y 2 b 2 =1  解答 button y= e x+y  解答
    button log x 2 + y 2 tan 1 y x =0  解答 button x 3 + y 3 3axy=0  解答
  11. 次の関係で定義される陰関数 y=ϕ( x ) の指定された点における接線の方程式を求めよ.
    button   f( x,y )=0 の点 ( a,b ) での接線の方程式  解答
    button    x 3 + y 3 xy=0   の点 ( 1 2 , 1 2 ) における接線の方程式  解答
  12. 次の関係で定義される陰関数 y=ϕ( x ) の極値を調べよ.
    button x 2 2xy+3 y 2 =8  解答 button x 2 yx y 2 +128=0  解答
    button x 2 y 2 2x+9 y 2 =0  解答 button x 3 12xy+2 y 3 =0  解答
    button x 4 16xy+3 y 4 =0  解答 button x 4 +4 x 2 +3 y 3 2y=0  解答
    button x 2 +2xy+ y 4 +2 y 2 =6  解答      
  13. 次のことを示せ.

    button  z=xf( ax+by )+yg( ax+by ) ならば

    b 2 2 z x 2 2ab 2 z xy + a 2 2 z y 2 =0

    である

     解答
  14. 次の関数の極値を求めよ.
    button f( x,y )= x 2 +2 y 2 +10x  解答 button f( x,y )= x 2 2xy+3 y 2 4x+5y  解答
    button f( x,y )=4 x 2 +2xy+ y 2 +4x+4y  解答 button f( x,y )=xy( x2y3 )  解答
    button f( x,y )= x 3 + y 3 12x27y  解答 button f( x,y )= x 3 + y 3 +6xy24  解答
    button f( x,y )=xy+ 1 x + 1 y  解答 button f( x,y )=cosx+cosy+cos( x+y )
    ( 0<x,y<π )
     解答

 

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学生スタッフ作成

最終更新日: 2013年8月22日

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