偏微分の問題演習

  1. 次の関数を偏微分せよ.

    • z= x 2 3xy+2 y 2  解答
    • z= y x  解答 

    • z= x 3 +3 x 2 y+2 y 3  解答
    • z= e ax    ( sinby+cosby )  解答

    • f( x,y )= 5x+3y 3x+2y  解答
    • f( x,y )= x y  解答

    • z=3 x 3 6 x 2 y+2x y 2 +5 y 4 ⇒ 解答
    • z= 2 x 2 + y 3 x 3 3 y 2 ⇒ 解答
    • z= 5 x 2 +7 y 3 ⇒ 解答
    • z= e x 3 +2 y 2 ⇒ 解答
    • z=log(7 x 4 +5 y 3 ) 解答
    • z=sin4 x 2 +cos5 y 3 解答
    • z=3sin( 4 x 3 7 y 4 ) 解答
    • z=5cosx y 2 解答
    • z= sin 1 xy 解答
    • z= cos 1 2xy 解答
    • z= sin 1 3 x 2 y 3 解答
    • z= cos 1 y x 解答
    • z= tan 1 xy 解答
    • z= tan 1 x y 解答
  2. 次の関数について f x 1,2 f y 1,2 を求めよ.
    • f( x,y )= x 2 +xy y 2  解答
    • f( x,y )= x 2 xy  解答

    • f( x,y )= sin 1 x y  解答
    • f( x,y )= 3 x 2 y+2x y 2 x 2 y 2  解答

    • f( x,y )=( x+y )( x 2 +x y 3 )  解答
    • f( x,y )= tan 1 y x  解答

  3. 次の関数の微小変化 dx,dy に対する全微分を求めよ.
    • f( x,y )= x 2 +7xy+ y 2  解答
    • f( x,y )= xy 2x+y  解答

    • f( x,y )= e x logy  解答

  4. 次のことを証明せよ.
    • z=f( y x ) ならば x z x +y z y =0  である.  解答
    • z=f( x 2 y 2 )   ならば y z x +x z y =0 である  解答
    • z= 1 x f( y x ) ならば x z x +y z y +z=0  である  解答
    • z=log x 2 + y 2 ならば ( z x ) 2 + ( z y ) 2 = 1 e 2z である.  解答
  5. 次の関数の dz dt を求めよ.
    • z=f( x,y ), x=a+ht,y=b+kt   解答
    • z= x 2 + y 2 , x=tsint,y=1cost   解答
    • z=xy, x=2 t 2 +1,y= t 2 +3t+1   解答
    • z = x tan y , x = sin 1 2 t ,    y = cos 1 2 t   解答
  6. 次のことを示せ.
    • z = f ( x , y ) , x = r cos θ , y = r sin θ ならば
      ( z x ) 2 + ( z y ) 2 = ( z r ) 2 + 1 r 2 ( z θ ) 2
      となる.       解答
    • z=f(x,y),x=ucosαvsinα, y=usinα+vcosα ならば
        ( z x ) 2 + ( z y ) 2 = ( z u ) 2 + ( z v ) 2
        となる.       解答
  7. 次の関数の第2次偏導関数を求めよ.

    • z=sin xy  解答
    • z= tan 1 y x  解答

    • z=cos x 2 y 2  解答
    • z= sin 1 xy  解答

    • z= cos 1 2xy  解答
    • z=log( x 2 + y 2 )  解答

    • z= e 2 x 3 y 2  解答

  8. 次の関数の第2次偏導関数を求めよ.
    • z=f( x,y ),       x=tsint,y=1cost  解答
    • z=f( x,y ),       x=2 t 2 3,y= t 2 +3t+7  解答

  9. 次のことを示せ.
    • z=f(x,y),x=ucosθvsinθ, y=usinθ+vcosθ のとき
          2 z x 2 + 2 z y 2 = 2 z u 2 + 2 z v 2
        となる.       解答 
    • z = f ( x , y ) , x = r cos θ , y = r sin θ のとき
        2 z x 2 + 2 z y 2 = 2 z r 2 + 1 r z r + 1 r 2 2 z θ 2
      となる.       解答

  10. 次のことを示せ.
    • y=f( x,t ) において,1次元の波動方程式
         2 y t 2 = c 2 2 y x 2
      ξ=xct,η=x+ct なる変換を行うと
         2 y ηξ =0
      となる.       解答
    • z に関する方程式
         2 z t 2 = c 2 ( 2 z r 2 + 2 r z r )
      において, z = 1 r u とおき, u に関する方程式に変換すると
         2 u t 2 = c 2 2 u r 2
      となる.       解答
  11. 次の関係で定義される陰関数 y=ϕ( x ) について d 2 y d x 2 を求めよ.

    • x 2 a 2 + y 2 b 2 =1  解答
    • y= e x+y  解答

    • log x 2 + y 2 tan 1 y x =0  解答
    • x 3 + y 3 3axy=0  解答

  12. 次の関係で定義される陰関数 y=ϕ( x ) の指定された点における接線の方程式を求めよ.
    • f( x,y )=0 の点 ( a,b ) での接線の方程式
    •  解答

    •   •    x 3 + y 3 xy=0 の点 ( 1/ 2,1/2 ) における
    • 接線の方程式      解答

  13. 次の関係で定義される陰関数 y=ϕ( x ) の極値を調べよ.
    • x 2 2xy+3 y 2 =8  解答
    • x 2 yx y 2 +128=0  解答

    • x 2 y 2 2x+9 y 2 =0  解答
    • x 3 12xy+2 y 3 =0  解答

    • x 4 16xy+3 y 4 =0  解答
    • x 4 +4 x 2 +3 y 3 2y=0  解答

    • x 2 +2xy+ y 4 +2 y 2 =6  解答

  14. 次のことを示せ.
    • z=xf( ax+by )+yg( ax+by ) ならば
          b 2 2 z x 2 2ab 2 z xy + a 2 2 z y 2 =0  
        である.  解答 
    • 関数 f( x,y )= tan 1 y x 調和関数である.  解答 
  15. 次の関数の極値を求めよ.
    • f( x,y )= x 2 +2 y 2 +10x  解答
    • f( x,y )= x 2 2xy+3 y 2 4x+5y  解答

    • f( x,y )=4 x 2 +2xy+ y 2 +4x+4y  解答
    • f( x,y )=xy( x2y3 )  解答

    • f( x,y )= x 3 + y 3 12x27y  解答
    • f( x,y )= x 3 + y 3 +6xy24  解答

    • f( x,y )=xy+ 1 x + 1 y  解答
    • f( x,y )=cosx+cosy+cos( x+y )
        0<x<π,0<y<π
       解答

    • f( x,y )= 2 x 3 2 y 2 2xy  解答

  16. 次の関数のマクローリン展開式を第3次の項まで求めよ.
    • f( x,y )= e x siny   解答

 

 

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最終更新日: 2024年5月28日

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