問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください.

合成関数の2次偏導関数

■問題

z に関する方程式

2 z t 2 = c 2 ( 2 z r 2 + 2 r z r )

において, z= 1 r u とおき, u に関する方程式に変換すると

2 u t 2 = c 2 2 u r 2

となることを示せ.

■ヒント

z r t を変数とする2変数関数となる. である. z= 1 r u より u=rz 変形する. u r t を変数とする2変数関数 となる. u t r で偏微分する. このとき,合成関数の偏導関数の公式を用いる.

■解説

u=rz において u t で偏微分する.

u t = t ( r z ) = r z t

さらに u を, t 偏微分する. 

2 u t 2 = t ( r z t ) = r 2 z t 2

となる.よって

2 z t 2 = 1 r 2 u t 2  ・・・・・・(1)  

となる.

次に, u=rz において u r で偏微分する.

u r = r ( r z ) = z + r z r

さらに u を, r 偏微分する. 

2 u r 2 = r ( z + r z r ) = z r + r ( r z r ) = z r + z r + r 2 z r 2 = 2 z r + r 2 z r 2

よって

2 z r 2 + 2 r z r = 1 r 2 u r 2   ・・・・・・(2)

となる.したがって

2 z t 2 = c 2 ( 2 z r 2 + 2 r z r )

に(1),(2)を代入しすると

1 r 2 u t 2 = c 2 ( 1 r 2 u r 2 )

2 u t 2 = c 2 2 u r 2

となる.

 

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学生スタッフ作成

最終更新日: 2023年9月1日

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