合成関数の偏導関数の導出

2変数関 $z=f\left(x,y\right)$$x=\phi \left(u,v\right)$,$y=\psi \left(u,v\right)$ ならば，偏導関数 $\frac{\partial z}{\partial u}$

$\frac{\partial z}{\partial u}={f}_{x}\frac{\partial x}{\partial u}+{f}_{y}\frac{\partial y}{du}$

となる．

■導出　⇒別法

$\frac{\partial z}{\partial u}=\underset{h\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{f\left(\phi \left(u+h,v\right),\psi \left(u+h,v\right)-f\left(\phi \left(u,v\right),\phi \left(u,v\right)\right)\right)}{h}$

$=\underset{h\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{f\left(\phi \left(u+h,v\right),\psi \left(u+h,v\right)\right)-f\left(\phi \left(u,v\right),\psi \left(u+h,v\right)\right)+f\left(\phi \left(u,v\right),\psi \left(u+h,v\right)\right)-f\left(\phi \left(u,v\right),\psi \left(u,v\right)\right)}{h}$

$=\underset{h\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{f\left(\phi \left(u+h,v\right),\psi \left(u+h,v\right)\right)-f\left(\phi \left(u,v\right),\psi \left(u+h,v\right)\right)}{\phi \left(u+h,v\right)-\phi \left(u,v\right)}\frac{\phi \left(u+h,v\right)-\phi \left(u,v\right)}{h}$

$+\underset{h\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{f\left(\phi \left(u,v\right),\psi \left(u+h,v\right)\right)-f\left(\phi \left(u,v\right),\psi \left(u,v\right)\right)}{\psi \left(u+h,v\right)-\psi \left(u,v\right)}\frac{\psi \left(u+h,v\right)-\psi \left(u,v\right)}{h}$　･･････(1)

(1)の右辺第1項を考える．

(与式)$=\underset{h\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{f\left(\phi \left(u+h,v\right),\psi \left(u+h,v\right)\right)-f\left(\phi \left(u,v\right),\psi \left(u+h,v\right)\right)}{\phi \left(u+h,v\right)-\phi \left(u,v\right)}\underset{h\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{\phi \left(u+h,v\right)-\phi \left(u,v\right)}{h}$

ここで

$\phi \left(u+h,v\right)-\phi \left(u,v\right)=i$とおくと, $\phi \left(u+h,v\right)=\phi \left(u,v\right)+i=x+i$

$h\to 0$  ならば $i\to 0$となる．

また，

$\psi \left(u,v\right)=y$ であることより$h\to 0$  ならば $\psi \left(u+h,v\right)\to y$となる．

よって

(与式)$=\underset{i\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{f\left(x+i,\psi \left(u+h,v\right)\right)-f\left(x,\psi \left(u+h,v\right)\right)}{i}\underset{h\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{\phi \left(u+h,v\right)-\phi \left(u,v\right)}{h}$

$={f}_{x}\frac{\partial x}{\partial u}$

(1)の右辺第2項を考える．

(与式) $=\underset{h\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{f\left(\phi \left(u,v\right),\psi \left(u+h,v\right)\right)-f\left(\phi \left(u,v\right),\psi \left(u,v\right)\right)}{\psi \left(u+h,v\right)-\psi \left(u,v\right)}\underset{h\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{\psi \left(u+h,v\right)-\psi \left(u,v\right)}{h}$

ここで

$\psi \left(u+h,v\right)-\psi \left(u,v\right)=j$とおくと， $\psi \left(u+h,v\right)=\psi \left(u,v\right)+j=y+j$

$h\to 0$  ならば$j\to 0$ となる．さらに $\phi \left(u,v\right)=x$ であることより

(与式)$=\underset{j\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{f\left(x,y+j\right)-f\left(x,y\right)}{j}\underset{h\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{\psi \left(u+h,v\right)-\psi \left(u,v\right)}{h}$

$={f}_{y}\frac{\partial y}{\partial u}$

$\frac{\partial z}{\partial u}={f}_{x}\frac{\partial x}{\partial u}+{f}_{y}\frac{\partial y}{\partial u}$

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