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応用分野: 合成関数の偏導関数の導出 ∂/∂u(f(φ(u,v),ψ(u,v)))

合成関数の偏導関数の導出

2変数関数 z=f( x,y ) x=φ( u,v ) , y=ψ( u,v ) ならば,偏導関数 z u

z u = f x x u + f y y du

となる.

■導出

変数 u の値が Δu 変化すると,変数 x と変数 y がそれぞれ Δx Δy に変化し, z の 変数が Δz 変化する.

曲面 z=f( x,y ) x y の近傍( Δx Δy の値が小さいとき)では平面とみなすことができる.

よって

Δz= f x Δx+ f y Δy

となる(ここを参照).したがって

z u = lim Δu0 Δz Δu

= lim Δu0 f x Δx+ f y Δy Δu

= lim Δu0 ( f x Δx Δu + f y Δy Δu )

= f x x u + f y y u

となる.

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学生スタッフ作成
最終更新日: 2023年1月21日

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