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応用分野: ヤコビアン(Jacobian)

全微分の定義

2変数関数 z = f ( x , y ) が領域 D ( a,b ) 全微分可能であれば,

f( a+h,b+h )f( a,b )= f x ( a,b )h+ f y ( a,b )k+ε( h,k ) h 2 + k 2  ・・・・・・(1)

(ただし, ( h , k ) 0 ならば ε ( h , k ) 0  )

と表わすことができる.

x の変化が微小で,それそれ dx dy と表わせるとき(微分形式を参照),  (1)の右辺の ε( h,k ) h 2 + k 2 の値は,右辺の他の部分 f x ( a,b )h+ f y ( a,b )k の値に比べ微小となり,右辺の値は f x ( a , b ) h + f y ( a , b ) k が主要なものとなる.

この f x ( a,b )h+ f y ( a,b )k h d x y d y に置き換えた ものを f ( a,b ) における全微分といい

df( a,b )  または, d z

で表わす.すなわち,

df( a,b )= f x ( a,b )dx+ f y ( a,b )dy  

となる.

f ( x , y ) における全微分は,

dz= f x ( x,y )dx+ f y ( x,y )dy

となる.

 

【参考文献】 水野克彦 「基礎課程 解析学」,学術図書出版

 

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初版:2009年7月3日,最終更新日: 2011年8月30日

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