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応用分野: 全微分の定義置換積分法

微分形式

関数 y=f( x ) において,変数 x  の微小の増分 Δx に対して, f ( x )Δx y微分といい, dy  で表す.

dy= f ( x )Δx  ・・・・・・(1)

変数 x  の微小の増分 Δx , 変数 x  の微小の増分 Δx に対応する y  の微小の増分 Δy x の微分 dx  , y の微分 dy  の関係を右図に示す.

Δx の値が小さくなるにしたがって, dy Δy  の値は1に近づく. すなわち, Δy dy  が等しくなる.

  • lim Δx0 dy Δy = lim Δx0 f ( x )Δx f( x+Δx )f( x )
  • = lim Δx0 f ( x ) f( x+Δx )f( x ) Δx = f ( x ) f ( x ) =1

また,重要な関係式として,

dy= dy dx dx  ・・・・・・(2)

がある.

 

x の微分 dx  について

xは独立変数なので x をそのまま対応させる関数 y=x とすることにより x の微分 dx  について考えてみる.

y=x  という関数においては, f ( x )=1 となるので(1)より,

dy=Δx  ・・・・・・(3)

となる.さらに y=x  より dy=dx となるので(3)は,

dx=Δx  ・・・・・・(4)

となる.すなわち,

変数 x  の微分 dx  は変数 x  の微小の増分 Δx のことである.

(1),(4)より,

dy= f ( x )dx  ・・・・・・(5)

となる.また, f ( x )= dy dx  より,

dy= dy dx dx  ・・・・・・(2)

となる.

また, y=f( x ) なので(5)より,

df( x )= f ( x )dx  ・・・・・・(6)

と表すことができる.

ここで示した, dx dy f ( x )dx df( x ) 微分形式という.

 

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最終更新日: 2015年4月24日

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