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置換積分法

x = g ( t ) の関係に置換したとき,

不定積分

f( x )dx = f( x ) dx dt dt = f( g( t ) ) g ( t )dt

定積分

a b f( x )dx = α β f( x ) dx dt dt = α β f( g( t ) ) g ( t )dt

(ただし, g( α )=a ,  g( β )=b

■置換方法の例

 ここを参照のこと.

■解説

置換積分の公式は合成関数の微分の公式に対応するものである.

関数 f( x )  の原始関数の1つを F( x )  とすると,

F ( x )=f( x )  ・・・・・・(1)

f( x )dx=F( x )+C  ( C :積分定数)・・・・・・(2)

の関係がある.

また, x=g( t )  の関係があると, 関数 F( x )  は,

F( x )=F( g( t ) )  ・・・・・・(3)

となる. F( g( t ) )  を変数 t  で微分すると,合成関数の微分より,

{ F( g( t ) ) } = F ( g( t ) ) g ( t )  ・・・・・・(4)

両辺を変数 t  で積分すると

{ F( g( t ) ) } dt +C= F ( g( t ) ) g ( t )dt     (積分定数 C を左辺にまとめて入れている)

F( g( t ) )+C= F ( g( t ) ) g ( t )dt        ・・・・・・(5)

g( t )=x  を(5)の左辺に適用すると,

F( x )+C= F ( g( t ) ) g ( t )dt  ・・・・・・(6)

(1),(2)を(6)に適用すると,

f( x )dx= f( g( t ) ) g ( t )dt  

となり,置換積分の公式が得られる.

あるいは, x  が t の関数であると考えると,

dx= dx dt dt  

であるので,簡単に置換積分の公式が得られる.微分形式を参照のこと.

 

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最終更新日: 2014年6月11日

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