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不定積分の定義

ある関数${\displaystyle F\left(x\right)}$ を微分すると関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ となる．この関数${\displaystyle F\left(x\right)}$ を関数${\displaystyle f\left(x\right)}$の不定積分あるいは原始関数といい，

${\displaystyle \int f\left(x\right)dx}$

と表す．

上記内容を式で表すと

${\displaystyle \frac{d}{dx}F\left(x\right)=\frac{d}{dx}\left(\int f\left(x\right)dx\right)}$${\displaystyle =f\left(x\right)}$

となる．

C を任意の定数とした関数${\displaystyle G\left(x\right)=F\left(x\right)+C}$ を考える． この ${\displaystyle G\left(x\right)}$ を微分しても ${\displaystyle f\left(x\right)}$となる． すなわち，関数${\displaystyle f\left(x\right)}$の 不定積分は${\displaystyle F\left(x\right)}$１つではなく，Cは任意の定数であるので無数に存在することになる． このことを数式で表現すると，

${\displaystyle \int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C}$　　（Cは任意の定数）

となる．

${\displaystyle f\left(x\right)}$の不定積分を求めることを，${\displaystyle f\left(x\right)}$を積分するといい， 上式の定数Cを積分定数という．また，${\displaystyle f\left(x\right)}$を被積分関数，x を積分変数という．

 

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最終更新日： 2025年4月27日

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