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応用分野: 重積分における変数変換その2
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ヤコビアン(Jacobian)

■2変数関数の場合

x=φ( u,v ) y=ψ( u,v ) とし, φ,ψ u,v  で偏微分可能であるとする.


x,y  の全微分

dx= φ u du+ φ v dv  

dy= ψ u du+ ψ v dv  

となる.  行列を用いて表すと

( dx dy )=( φ u φ v ψ u ψ v )( du dv )  

となる.

行列

( φ u φ v ψ u ψ v )  

行列式

| φ u φ v ψ u ψ v |  

ヤコビアン(Jacobian)といい, ( φ,ψ ) ( u,v )  で表す.


■3変数関数の場合

x=φ( u,v,w ),y=ψ( u,v,w ),z=ω( u,v,w ) とし, φ,ψ,ω u,v,w 偏微分可能とする.


x,y,z 全微分

dx= φ u du+ φ v dv+ φ w dw

dy= ψ u du+ ψ v dv+ ψ w dw

dz= ω u du+ ω v dv+ ω w dw

となる.  これを行列を用いて表すと,

( dx dy dz )=( φ u φ v φ w ψ u ψ v ψ w ω u ω v ω w )( du dv dw )


行列

( φ u φ v φ w ψ u ψ v ψ w ω u ω v ω w )

行列式

| φ u φ v φ w ψ u ψ v ψ w ω u ω v ω w |

ヤコビアン(Jacobian)といい, ( φ,ψ,ω ) ( u,v,w ) で表す.


■一般に

n変数関数の場合,行列を用いて表すと,

( f 1 f n )=( f 1 x 1 f 1 x n f n x 1 f n x n )( d x 1 d x n )

行列

( f 1 x 1 f 1 x n f n x 1 f n x n )

行列式

| f 1 x 1 f 1 x n f n x 1 f n x n |

ヤコビアン(Jacobian)といい, ( f 1 , f n ) ( x 1 , x n ) で表す.


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学生スタッフ作成
初版:2008年12月4日,最終更新日: 2011年8月30日

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