全微分可能

領域 D で定義された関数(2変数関数) ${\displaystyle z=f\left(x,y\right)}$ に対して，

${\displaystyle f\left(a+h,b+k\right)-f\left(a,b\right)}$${\displaystyle =Ah+Bk+\epsilon \left(h,k\right)\sqrt{h^2+k^2}}$  ･･････(1)

と表わすとき， ${\displaystyle \left(h,k\right)\to \left(0,0\right)}$ において ${\displaystyle \epsilon \left(h,k\right)\to 0}$  が成り立つような定数 $A$ ，$B$ が存在するならば， ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ は点 ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ において全微分可能であるという．

また，関数 ${\displaystyle z=f\left(x,y\right)}$ が領域 D の各点で全微分可能であるとき， ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ は D で全微分可能であるという．

（1）において ${\displaystyle k=0}$ とおくと

${\displaystyle f\left(a+h,b\right)-f\left(a,b\right)}$${\displaystyle =Ah+\epsilon \left(h,0\right)\sqrt{h^2}}$  

となる．

${\displaystyle h>0}$  のとき，${\displaystyle \sqrt{h^2}=h}$ なので

${\displaystyle f\left(a+h,b\right)-f\left(a,b\right)=Ah+\epsilon \left(h,0\right)h}$  

${\displaystyle \frac{f\left(a+h,b\right)-f\left(a,b\right)}{h}=A+\epsilon \left(h,0\right)}$  ･･････(2)

となる．

${\displaystyle h<0}$  のとき， ${\displaystyle \sqrt{h^2}=-h}$ なので

${\displaystyle f\left(a+h,b\right)-f\left(a,b\right)=Ah-\epsilon \left(h,0\right)h}$  

${\displaystyle \frac{f\left(a+h,b\right)-f\left(a,b\right)}{h}=A-\epsilon \left(h,0\right)}$ ･･････(3)

となる．

全微分可能であると ${\displaystyle h\to 0}$ のとき， ${\displaystyle \epsilon \left(h,0\right)\to 0}$ である．

したがって，（2），（3）より

${\displaystyle A=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(a+h,b\right)-f\left(a,b\right)}{h}}$${\displaystyle =f_x\left(a,b\right)}$  

となる．すなわち，定数 $A$ は ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ における $x$ についての 偏微分係数 ${\displaystyle f_x\left(a,b\right)}$ となる．

同様にして， ${\displaystyle h=0}$ とおき ${\displaystyle k\to 0}$ とすることにより

${\displaystyle B=\underset{k\to 0}{\lim }\frac{f\left(a,b+k\right)-f\left(a,b\right)}{k}}$${\displaystyle =f_y\left(a,b\right)}$  

となる．すなわち，定数 $B$ は ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ における $y$ についての 偏微分係数 ${\displaystyle f_y\left(a,b\right)}$ となる．

 

【参考文献】

日本数学会編集　「岩波　数学辞典　第4版」，岩波書店

水野克彦　「基礎課程　解析学」，学術図書出版

茂木勇，横手一郎　共著　「基礎微分積分」，裳華房　　

 

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最終更新日： 2023年1月21日