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応用分野: 全微分の定義

全微分可能

領域 D で定義された関数(2変数関数) z = f ( x , y ) に対して,

f ( a + h , b + k ) f ( a , b ) = A h + B k + ε ( h , k ) h 2 + k 2  ・・・・・・(1)

と表わすとき, ( h,k )( 0,0 ) において ε ( h , k ) 0  が成り立つような定数 A B が存在するならば, f ( x , y ) は点 ( a , b ) において全微分可能であるという.

また,関数 z = f ( x , y ) が領域 D の各点で全微分可能であるとき, f ( x , y ) D 全微分可能であるという.

(1)において k=0 とおくと

f( a+h,b )f( a,b )=Ah+ε( h,0 ) h 2  

となる.

h>0  のとき, h 2 =h なので

f( a+h,b )f( a,b )=Ah+ε( h,0 )h  

f( a+h,b )f( a,b ) h =A+ε( h,0 )  ・・・・・・(2)

となる.

h<0  のとき, h 2 = h なので

f( a+h,b )f( a,b )=Ahε( h,0 )h  

f( a+h,b )f( a,b ) h =Aε( h,0 )  ・・・・・・(3)

となる.

全微分可能であると h0 のとき, ε( h,0 )0 である.

したがって,(2),(3)より

A= lim h0 f( a+h,b )f( a,b ) h = f x ( a,b )  

となる.すなわち,定数 A ( a , b ) における x についての 偏微分係数 f x ( a,b ) となる.

同様にして, h = 0 とおき k 0 とすることにより

B= lim k0 f( a,b+k )f( a,b ) k = f y ( a,b )  

となる.すなわち,定数 B ( a , b ) における y についての 偏微分係数 f y ( a , b ) となる.

 

【参考文献】

日本数学会編集 「岩波 数学辞典 第4版」,岩波書店

水野克彦 「基礎課程 解析学」,学術図書出版

茂木勇,横手一郎 共著 「基礎微分積分」,裳華房  

 

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学生スタッフ作成
最終更新日: 2017年3月27日

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