演習問題

${\displaystyle z=f\left(x,y\right)}$, ${\displaystyle x=u\cos \alpha -v\sin \alpha }$, ${\displaystyle y=u\sin \alpha +v\cos \alpha }$ならば

${\displaystyle {\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}^2}$ ${\displaystyle ={\left(\frac{\partial z}{\partial u}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial v}\right)}^2}$

となることを示せ．

${\displaystyle y=f\left(x,t\right)}$ において，1次元の波動方程式

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}}$

に ${\displaystyle \xi =x-ct}$，${\displaystyle \eta =x+ct}$ なる変換を行うと

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}y}{\partial \eta \partial \xi }=0}$

となることを示せ．

${\displaystyle z}$ に関する方程式

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial t^2}=c^2\left(\frac{{\partial }^{2}z}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial z}{\partial r}\right)}$

において， ${\displaystyle z=\frac{1}{r}u}$ とおき， ${\displaystyle u}$ に関する方程式に変換すると

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial r^2}}$

となることを示せ．