問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください.

波動方程式の変換

■問題

y=f( x,t ) において,1次元の波動方程式

2 y t 2 = c 2 2 y x 2

ξ=xct η=x+ct なる変換を行うと

2 y ηξ =0

となることを示せ.

■ヒント

最初に ξ = x c t η = x + c t より, x t ξ η で表す.

y ξ で偏微分した後,更に η で偏微分する. このとき,合成関数の偏導関数の公式を用いる.

■解説

ξ = x c t  ・・・・・・(1)

η = x + c t  ・・・・・・(2)

とおく.

(1) を変形すると

x=ξ+ct

これを (2) に代入して整理すると

η = ξ + c t + c t

t = η ξ 2 c  ・・・・・・(3)

となる.更に,これを (1) に代入し整理すると

ξ = x c · η ξ 2 c

x = ξ + η 2  ・・・・・・(4)

となる.

(4)より x ξ で偏微分すると

x ξ = ξ ( ξ + η 2 ) = ξ ( 1 2 ξ + η 2 ) = 1 2  ・・・・・・(5)

次に,(3)より t ξ で偏微分すると

t ξ = ξ ( ηξ 2c ) = ξ ( η 2c ξ 2c )= 1 2c  ・・・・・・(6)

同様の手順で x t η で偏微分をすると

x η = η ( ξ + η 2 ) = η ( ξ 2 + 1 2 η ) = 1 2  ・・・・・・(7)

t η = η ( ηξ 2c ) = η ( η 2c ξ 2c )= 1 2c  ・・・・・・(8)

(5),(6)より y ξ で偏微分すると(合成関数の偏導関数の公式を参照)

y ξ = f x x ξ + f t t ξ

= f x 1 2 + f t ( 1 2c )

= 1 2 f x 1 2 f t  ・・・・・・(9)

これを更に η で偏微分すると

2 y ηξ = η ( y ξ )

(9)を代入する.

= η ( 1 2 f x 1 2c f t )

= η ( 1 2 f x ) η ( 1 2c f t )

= 1 2 η f x 1 2c η f t  ・・・・・・(10)

ここで, f x f t は,合成関数 y=f( x,t ) x t でそれぞれ偏微分したものであるから,どちらも合成関数である.

よって, η f x , η f t は,どちらも合成関数の偏微分となるので

η f x = x f x · x η + t f x · t η

= f x x x η + f x t t η

= f x x · ( 1 2 ) + f x t · ( 1 2 c )

= 1 2 f x x + 1 2 c f x t  ・・・・・・(11)

η f t = x f t · x η + t f t · t η

= f t x x η + f t t t η

= f t x · ( 1 2 ) + f t t · ( 1 2 c )

= 1 2 f t x + 1 2 c f t t  ・・・・・・(12)

となる.(10)に(11),(12)を代入する.

2 y ηξ = 1 2 1 2 ( f xx + 1 c f xt ) 1 2c 1 2 ( f tx + 1 c f tt )

= 1 4 f x x + 1 4 c f x t 1 4 c f t x 1 4 c 2 f t t

= 1 4 f x x + 1 4 c f x t 1 4 c f x t 1 4 c 2 f t t

= 1 4 f x x 1 4 c 2 f t t

= 1 4 2 y x 2 1 4 c 2 2 y t 2

これに, 2 y t 2 = c 2 2 y x 2 を代入すると

2 y η ξ = 1 4 2 y x 2 1 4 c 2 · c 2 2 y x 2 = 1 4 2 y x 2 1 4 2 y x 2 = 0

となりる.

以上より

2 y t 2 = c 2 2 y x 2   

ξ=xct η=x+ct なる変換を行うと

2 y ηξ =0    

となる.

 

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>偏微分>>問題演習>>波動方程式の変換

学生スタッフ作成

最終更新日: 2023年9月5日

[ページトップ]

金沢工業大学

利用規約

google translate (English version)