問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください.

合成関数の偏微分

■問題

z=f( x,y ) , x=ucosαvsinα , y=usinα+vcosα ならば

( z x ) 2 + ( z y ) 2 = ( z u ) 2 + ( z v ) 2

となることを示せ.

■ヒント

合成関数の偏微分の公式を用いて偏微分する.

●参考

x=ucosαvsinα , y=usinα+vcosα の変換を行列を使って表すと

x y = ucosαvsinα usinα+vcosα = cosα sinα sinα cosα u v

u v = cosα sinα sinα cosα 1 x y

= cosα sinα sinα cosα x y

= cos α sin α sin α cos α x y

杜なる.すなわち, x,y から u,v の変数変換は,幾何学的にいうと z 軸を回転の中心として原点を中心として α 回転したものになる.2次元回転行列を参照.

■解答

z u 合成関数の偏微分をすると

z v = f x x v + f y y v = f x cosα+ f y sinα

となる.

同様に, z v 合成関数の偏微分をすると

z v = f x x v + f y y v

= f x ( sinα )+ f y cosα

= f y cosα f x sinα

したがって

( z u ) 2 + ( z v ) 2

= ( f x cos α + f y sin α ) 2 + ( f y cos α f x sin α ) 2

= ( f x 2 cos 2 α + 2 f x f y sin α cos α + f y 2 sin 2 α ) + ( f y 2 cos 2 α 2 f x f y sin α cos α + f x 2 sin 2 α )

= f x 2 cos 2 α + 2 f x f y sin α cos α + f y 2 sin 2 α + f y 2 cos 2 α 2 f x f y sin α cos α + f x 2 sin 2 α

= ( sin 2 α + cos 2 α ) f x 2 + ( sin 2 α + cos 2 α ) f y 2

= f x 2 + f y 2

= ( z x ) 2 + ( z y ) 2

 

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学生スタッフ作成

2023年8月29日

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