問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください.

2次の偏微分

■問題

z=f( x,y ) x=2 t 2 3 y= t 2 +3t+7 のとき, d 2 z d t 2 を求めよ.

■答

16 t 2 f xx +8t( 2t+3 ) f xy + f yy ( 2t+3 ) 2 +4 f x +2 f y

■ヒント

x y t で2回微分する.求めた式を合成関数の2次偏導関数の公式に 代入する.

■解説

x t 微分すると,

d x d t = 4 t

これを更に t 微分すると,

d 2 x d t 2 = d d t ( d x d t ) = d d t ( 4 t ) = 4

同様の手順で y t 微分をすると

d y d t = 2 t + 3

更に, y t 微分する. 

d 2 y d t 2 = d d t ( d y d t ) = d d t ( 2 t + 3 ) = 2

以上より

d 2 z d t 2 = f x x ( d x d t ) 2 + 2 f x y d x d t d y d t + f y y ( d y d t ) 2 + f x d 2 x d t 2 + f y d 2 y d t 2

= f x x ( 4 t ) 2 + 2 f x y 4 t ( 2 t + 3 ) + f y y ( 2 t + 3 ) 2 + 4 f x + 2 f y

= f x x 16 t 2 + 8 t ( 2 t + 3 ) f x y + f y y ( 2 t + 3 ) 2 + 4 f x + 2 f y

= 16 t 2 f x x + 8 t ( 2 t + 3 ) f x y + f y y ( 2 t + 3 ) 2 + 4 f x + 2 f y

 

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学生スタッフ作成

最終更新日: 2013年8月14日

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