# 2次の偏微分

## ■問題

$z$$=\sqrt{2x-3y}$

## ■答え

$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial {x}^{2}}=-\frac{\sqrt{2x-3y}}{{\left(2x-3y\right)}^{2}}$$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial {y}^{2}}=-\frac{9\sqrt{2x-3y}}{4{\left(2x-3y\right)}^{2}}$$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=\frac{3\sqrt{2x-3y}}{2{\left(2x-3y\right)}^{2}}$

## ■ヒント

2次偏導関数$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial {x}^{2}}$$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial {y}^{2}}$$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}$$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$ の4つを求める．

$\frac{\partial z}{\partial x}$$\frac{\partial z}{\partial y}$ を計算してから，それぞれを更に$x$$y$で偏微分する．

## ■解説

$z$$=\sqrt{2x-3y}$

$={\left(2x-3y\right)}^{\frac{1}{2}}$

### ●$\frac{\partial z}{\partial x}$ の計算

$z={\left(2x-3y\right)}^{\frac{1}{2}}$偏導関数の定義より， $y$ を定数とみなして$x$ で微分する．

$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}{\left(2x-3y\right)}^{\frac{1}{2}}$$=\frac{1}{2}{\left(2x-3y\right)}^{-\frac{1}{2}}\text{\hspace{0.17em}}·\text{\hspace{0.17em}}2$$={\left(2x-3y\right)}^{-\frac{1}{2}}$ 　･･････(1)

### ●$\frac{\partial z}{\partial y}$ の計算

$z={\left(2x-3y\right)}^{\frac{1}{2}}$偏導関数の定義より， $x$ を定数とみなして$y$ で微分する．

$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}{\left(2x-3y\right)}^{\frac{1}{2}}$$=\frac{1}{2}{\left(2x-3y\right)}^{-\frac{1}{2}}\text{\hspace{0.17em}}·\text{\hspace{0.17em}}\left(-3\right)$$=-\frac{3}{2}{\left(2x-3y\right)}^{-\frac{1}{2}}$ 　･･････(2)

### ●$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial {x}^{2}}$ の計算

(1)を更に， 偏導関数の定義より， $y$ を定数とみなして $x$ で微分する．

$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial {x}^{2}}$$=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)$

$=\frac{\partial }{\partial x}\left\{{\left(2x-3y\right)}^{-\frac{1}{2}}\right\}$

$=-\frac{1}{2}{\left(2x-3y\right)}^{-\frac{3}{2}}\text{\hspace{0.17em}}·\text{\hspace{0.17em}}2$

$=-{\left(2x-3y\right)}^{-\frac{3}{2}}$

$=-\frac{1}{\left(2x-3y\right)\sqrt{2x-3y}}$

$=-\frac{\sqrt{2x-3y}}{{\left(2x-3y\right)}^{2}}$

### ●$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial {y}^{2}}$ の計算

(2)を更に， 偏導関数の定義より， $x$ を定数とみなして $y$ で微分する．

$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial {y}^{2}}$$=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)$

$=\frac{\partial }{\partial y}\left\{-\frac{3}{2}{\left(2x-3y\right)}^{-\frac{1}{2}}\right\}$

$=-\frac{3}{2}\text{\hspace{0.17em}}·\text{\hspace{0.17em}}\left(-\frac{1}{2}\right){\left(2x-3y\right)}^{-\frac{3}{2}}\text{\hspace{0.17em}}·\text{\hspace{0.17em}}\left(-3\right)$

$=-\frac{9}{4}\text{\hspace{0.17em}}·\text{\hspace{0.17em}}\frac{1}{\left(2x-3y\right)\sqrt{2x-3y}}$

$=-\frac{9}{4}\text{\hspace{0.17em}}·\text{\hspace{0.17em}}\frac{\sqrt{2x-3y}}{{\left(2x-3y\right)}^{2}}$

$=-\frac{9\sqrt{2x-3y}}{4{\left(2x-3y\right)}^{2}}$

### ●$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}$ の計算

(1)を更に，偏導関数の定義より， $x$ を定数とみなして $y$ で微分する．

$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}$$=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)$

$=\frac{\partial }{\partial y}\left\{{\left(2x-3y\right)}^{-\frac{1}{2}}\right\}$

$=-\frac{1}{2}{\left(2x-3y\right)}^{-\frac{3}{2}}\text{\hspace{0.17em}}·\text{\hspace{0.17em}}\left(-3\right)$

$=\frac{3}{2}\text{\hspace{0.17em}}·\text{\hspace{0.17em}}\frac{1}{\left(2x-3y\right)\sqrt{2x-3y}}$

$=\frac{3}{2}\text{\hspace{0.17em}}·\text{\hspace{0.17em}}\frac{\sqrt{2x-3y}}{{\left(2x-3y\right)}^{2}}$

$=\frac{3\sqrt{2x-3y}}{2{\left(2x-3y\right)}^{2}}$　･･････(3)

### ●$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$ の計算

(2)を更に，偏導関数の定義より， $y$ を定数とみなして $x$ で微分する．

$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$$=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)$

$=\frac{\partial z}{\partial x}\left\{-\frac{3}{2}{\left(2x-3y\right)}^{-\frac{1}{2}}\right\}$

$=-\frac{3}{2}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right){\left(2x-3y\right)}^{-\frac{3}{2}}\cdot 2$

$=\frac{3}{2}{\left(2x-3y\right)}^{-\frac{3}{2}}$

$=\frac{3}{2}\text{\hspace{0.17em}}·\text{\hspace{0.17em}}\frac{1}{\left(2x-3y\right)\sqrt{2x-3y}}$

$=\frac{3}{2}\text{\hspace{0.17em}}·\text{\hspace{0.17em}}\frac{\sqrt{2x-3y}}{{\left(2x-3y\right)}^{2}}$

$=\frac{3\sqrt{2x-3y}}{2{\left(2x-3y\right)}^{2}}$　･･････(3)

(3)，(4)より

$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$

となり，2次偏導関数は偏微分する順序には無関係であることが確かめられた．

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