KIT数学ナビゲーション
数学知識構造の全体を見るにはこのグラフ図を, 関連するページを見るにはこのグラフ図を利用してください.
応用分野: 2変数関数のテイラー(Taylor)の定理の証明合成関数の2次偏導関数の導出合成関数の2次偏導関数の導出必要十分条件の証明陰関数の微分の導出合成関数の2次偏導関数の導出
問題リスト←このページに関連している問題です

偏微分の順序交換

z=f( x,y )  について, 2 z yx 2 z xy が共に連続ならば

2 z yx = 2 z xy  

表現をかえると

f xy ( x,y )= f yx ( x,y )  

が成り立つ.

■証明

偏導関数の定義より

f x ( x,y )= f x = lim h0 f( x+h,y )f( x,y ) h  

f y ( x,y )= f y = lim k0 f( x,y+k )f( x,y ) k  

また,

f xy = f x y = lim k0 f x ( x,y+k ) f x ( x,y ) k  

      = lim k0 lim h0 f( x+h,y+k )f( x,y+k ) h lim h0 f( x+h,y )f( x,y ) h k  

      = lim k0 [ 1 k { lim h0 f( x+h,y+k )f( x,y+k )f( x+h,y )+f( x,y ) h } ]  

      = lim k0 [ lim h0 1 hk { f( x+h,y+k )f( x,y+k )f( x+h,y )+f( x,y ) } ]  ・・・・・・(1)

同様にして

f yx = f y x = lim h0 f y ( x+h,y ) f y ( x,y ) h  

      = lim h0 lim k0 f( x+h,y+k )f( x+h,y ) k lim k0 f( x,y+k )f( x,y ) k h  

      = lim h0 [ 1 h { lim k0 f( x+h,y+k )f( x+h,y ) k lim k0 f( x,y+k )f( x,y ) k } ]  

      = lim h0 [ lim k0 1 hk { f( x+h,y+k )f( x,y+k )f( x+h,y )+f( x,y ) } ]  ・・・・・・(2)

ここで

Δ=f( x+h,y+k )f( x,y+k )f( x+h,y )+f( x,y )  ・・・・・・(3)

とおき,

g 1 ( x )=f( x,y+k )f( x,y )  

とおくと,(3)は

Δ= g 1 ( x+h ) g 1 ( x )  

平均値の定理より

Δ= g 1 ( x+ θ 1 h )h     ( 0< θ 1 <1 )

ここで g 1 ( x )

g 1 ( x )= d dx g 1 ( x )  

          ={ d dx g 1 ( x+ θ 1 h ) }h  

          = x { f( x,y+k )f( x,y ) }  

          = f x ( x,y+k ) f x ( x,y )  

よって

Δ={ f x ( x+ θ 1 h,y+k ) f x ( x+ θ 1 h,y ) }h  ・・・・・・(4)

g 2 ( y )= f x ( x+ θ 1 h,y )  とおくと(4)は,

Δ={ g 2 ( y+k ) g 2 ( y ) }h  

平均値の定理より

g 2 ( y+k ) g 2 ( y )= g 2 ( y+ θ 2 k )k  

となるので

Δ={ g 2 ( y+ θ 2 k )k }h     ( 0< θ 2 <1 )

={ g 2 ( y+ θ 2 k ) }hk  

ここで g 2 ( y )

g 2 ( y )= d dy g 2 ( y )  

          = y f x ( x+ θ 1 h,y )  

          = f xy ( x+ θ 1 h,y )  

よって

Δ= f xy ( x+ θ 1 h,y+ θ 2 k )hk  ・・・・・・(5)

次に, h 1 ( y )=f( x+h,y )f( x,y )  とおくと(3)は

Δ= h 1 ( y+k ) h 1 ( y )  

平均値の定理より

Δ= h 1 ( y+ ϕ 1 k )k     ( 0< ϕ 1 <1 )

ここで h 1 ( y )

h 1 ( y )= d dy h 1 ( y )  

          = y { f( x+h,y )f( x,y ) }  

          = f y ( x+h,y ) f y ( x,y )  

よって

Δ={ f y ( x+h,y+ ϕ 1 k ) f y ( x,y+ ϕ 1 k ) }k  ・・・・・・(6)

h 2 ( x )= f y ( x,y+ ϕ 1 k )  とおくと(6)は

Δ={ h 2 ( x+h ) h 2 ( x ) }k  

平均値の定理より

h 2 ( x+h ) h 2 ( x )= h 2 ( x+ ϕ 2 h )h  

となるので

Δ={ h 2 ( x+ ϕ 2 h )h }k     ( 0< ϕ 2 <1 )

    ={ h 2 ( x+ ϕ 2 h ) }hk  

ここで h 2 ( x )

h 2 ( x )= d dx h 2 ( x )  

          = x f y ( x,y+ ϕ 1 k )  

          = f yx ( x,y+ ϕ 1 k )  

よって

Δ= f yx ( x+ ϕ 2 h,y+ ϕ 1 k )hk  ・・・・・・(7)

(1)(5)より

lim h0 k0 Δ hk = lim h0 k0 f xy ( x+ θ 1 h,y+ θ 2 k )= f xy ( x,y )  ・・・・・・(8)

(2)(7)より

lim h0 k0 Δ hk = lim h0 k0 f yx ( x+ ϕ 2 h,y+ ϕ 1 k )= f yx ( x,y )  ・・・・・・(9)

(8)(9)より 

f xy ( x,y )= f yx ( x,y )  

 

 

ホーム>>カテゴリー別分類>>微分>>偏微分>>偏微分の順序交換

初版:2009年6月27日,最終更新日: 2010年11月6日

[ページトップ]

金沢工業大学

利用規約

google translate (English version)