問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください.

偏微分とその値

■問題

次の関数について f x 1,2 f y 1,2 を求めよ.

f( x,y )= 3 x 2 y+2x y 2 x 2 y 2

■答

それぞれ, 8 9 7 9

■ヒント

偏導関数の定義を用いて偏微分する.
微分後の式に数値を代入する.

■解説

偏導関数の定義より, y を定数とみなして x で微分する.

x f( x,y )= ( 6xy+2 y 2 )( x 2 y 2 )( 3 x 2 y+2x y 2 )2x ( x 2 y 2 ) 2

= 6 x 3 y6x y 3 +2 x 2 y 2 2 y 4 6 x 3 y4 x 2 y 2 ( x 2 y 2 ) 2

= 2 x 2 y 2 +6x y 3 +2 y 4 ( x 2 y 2 ) 2

2 x 2 y 2 +6x y 3 +2 y 4 ( x 2 y 2 ) 2 x=1,y=2 を代入する.

f x x,y = 21 2 2 +61 2 3 +2 2 4 1 2 2

= 24+6( 8 )+216 ( 14 ) 2

= 848+32 9 = 8 9

偏導関数の定義より, x を定数とみなして y で微分する.

y f( x,y )= ( 3 x 2 +4xy )( x 2 y 2 )( 3 x 2 y+2x y 2 )( 2y ) ( x 2 y 2 ) 2

= 3 x 4 3 x 2 y 2 +4 x 3 y4x y 3 +6 x 2 y 2 +4x y 3 ( x 2 y 2 ) 2

= 3 x 4 +4 x 3 y+3 x 2 y 2 ( x 2 y 2 ) 2

3 x 4 +4 x 3 y+3 x 2 y 2 ( x 2 y 2 ) 2 x=1,y=2 を代入する.

f y 1,2 = 3 1 4 +4 1 3 2 +3 1 2 2 2 1 2 2 2

= 38+12 9 = 7 9

 

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学生スタッフ作成

最終更新日: 2024年5月7日

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