問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください.

2変数関数の極値

■問題

次の関数の極値を求めよ.

f( x,y )=xy( x2y3 )

■答

( 1, 1 2 ) で極大値 1 2 をとる. 

■ヒント

2変数関数の極値の定理1を使用する.

与えられた関数を x,y でそれぞれ偏微分し,連立方程式

{ x f( x,y )=0 y f( x,y )=0

とし,その解 x , y = a , b を求める.

更に

2 x 2 f x,y = f xx x,y 2 y 2 f x,y = f yy x,y 2 yx f x,y = f xy x,y

をそれぞれ求め

A= f xx ( a,b ), D= { f xy ( a,b ) } 2 f xx ( a,b )· f yy ( a,b )

を計算して極値を判定する.

■解説

与式を展開する.

f( x,y ) =xy( x2y3 ) = x 2 y2x y 2 3xy

これを x で偏微分(偏導関数の定義より, y を定数とみなして x で微分)すると

x f( x,y ) = x ( x 2 y2x y 2 3xy ) =2xy2 y 2 3y

次に f( x,y ) y で偏微分(偏導関数の定義より, x を定数とみなして y で微分)すると

y f( x,y ) = y ( x 2 y2x y 2 3xy ) = x 2 4xy3x

両者を連立させる.

{ 2xy2 y 2 3y=0( 1 ) x 2 4xy3x=0( 2 )

(1)は

2xy2 y 2 3y =0

y( 2x2y3 ) =0

となり, y=0 または 2x2y3=0 を満たせば良い.

同様に(2)も,

x 2 4xy3x =0

x( x4y3 ) =0

となり, x=0 または x4y3=0 を満たせば良い.

よってこの連立方程式の解は

(i) { y=0 x=0

(ii) { y=0 x4y3=0( 3 )

(iii) { 2x2y3=0( 4 ) x=0

(iv) { 2x2y3=0( 4 ) x4y3=0( 3 )

これら4組の連立方程式の解となる.

(i)の連立方程式の解は x,y = ( 0,0 )

(ii)の連立方程式の解は y=0 を(3)に代入して

x4·03 =0 x3 =0 x =3

よって, x,y = ( 3,0 )

(iii)の連立方程式の解は x=0 を(4)に代入して

2·02y3 =0 2y3 =0 2y =3 y = 3 2

よって, x,y = ( 0, 3 2 )

(iv)の連立方程式の解は(4)から

2x2y3 =0 2x =2y+3 x =y+ 3 2  ・・・・・・(5)

これを(3)に代入して

y+ 3 2 4y3 =0 3y+ 36 2 =0 3y 3 2 =0 3y = 3 2 y = 1 2

求めた y を(5)に代入して

x = 1 2 + 3 2 = 1+3 2 = 2 2 =1

よって,(i),(ii),(iii),(iv)より極値をとる候補は ( 0,0 )( 3,0 )( 0, 3 2 )( 1, 1 2 ) の4点となる.

次に

2 x 2 f x,y = f xx x,y 2 y 2 f x,y = f yy x,y 2 yx f x,y = f xy x,y

をそれぞれ求める.

f xx x,y = 2 x 2 f( x,y ) = x ( x f( x,y ) ) = x ( 2xy2 y 2 3y ) =2y

f yy x,y = 2 y 2 f( x,y ) = y ( y f( x,y ) ) = y ( x 2 4xy3x ) =4x

f xy x,y = 2 yx f( x,y ) = y ( x f( x,y ) ) = y ( 2xy2 y 2 3y ) =2x4y3

x,y = a,b における A D の値は

A = f xx ( a,b ) =2b

D = { f xy ( a,b ) } 2 f xx ( a,b )· f yy ( a,b ) = ( 2a4b3 ) 2 2b·( 4a )

= ( 2a4b3 ) 2 +8ab

これを元に各点における A,D を求める.

●点 ( 0,0 ) においては

A =2·0 =0

D = ( 2·04·03 ) 2 +8·0·0 = ( 3 ) 2 +0 =9

D>0 となり ( 0,0 ) は極値ではない.

●点 ( 3,0 ) においては

A =2·0 =0

D = ( 2·34·03 ) 2 +8·3·0 = ( 63 ) 2 +0 = 3 2 =9

D>0 となり ( 3 ,0 ) は極値ではない.

●点 ( 0, 3 2 ) においては

A =2·( 3 2 ) =3

D = { 2·04·( 3 2 )3 } 2 +8·0·( 3 2 ) = ( 63 ) 2 0 = 3 2 =9

D>0 となり ( 0, 3 2 ) は極値ではない.

●点 ( 1, 1 2 ) においては

A =2·( 1 2 ) =1

D = { 2·14·( 1 2 )3 } 2 +8·1·( 1 2 ) = ( 2+23 ) 2 4 = ( 1 ) 2 4 =14 =3

となり, A<0,D<0 より点 ( 1, 1 2 ) で極大となる.

この点での値は

f( 1, 1 2 ) =1·( 1 2 ){ 12·( 1 2 )3 } = 1 2 ( 1+13 ) = 1 2 ·( 1 ) = 1 2

以上からこの関数は点 ( 1, 1 2 ) で極大値 1 2 をとる.

 

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学生スタッフ作成

最終更新日: 2023年9月21日

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