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応用分野: 関数の極値の証明関数の極値の証明
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2変数関数の極値

2変数関数 f( x,y ) において,以下の定理が成り立つ.

■定理1

f x ( a,b )= f y ( a,b )=0 とする. A= f xx ( a,b ) B= f xy ( a,b ) C= f yy ( a,b ) D= B 2 AC とおくと

(1) A>0 D<0 ならば f( a,b ) は極小値

(2) A<0 D<0 ならば f( a,b ) は極大値

(3) D>0 ならば f( a,b ) は極値でない

定理の証明はこちら

■定理2

連立方程式 f( x,y )=0 f x ( a,b )=0 の解 ( x,y )=( a,b ) に対して

y''= f xx ( a,b ) f y ( a,b ) >0,( <0 )

ならば y は極小値(極大値) b をとる.

定理の証明はこちら

■定理3

条件 g( x,y )=0 のもとで, f( x,y ) が点 ( a,b ) で極値をとるとする.このとき g x ( x,y )0 または g y ( x,y )0 ならば,次式を満たす定数 λ が存在する.

f x ( a,b )+λ g x ( a,b )=0

f y ( a,b )+λ g y ( a,b )=0  

 

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最終更新日: 2014年12月19日

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