2変数関数の極値の証明　(2)

連立方程式${\displaystyle f\left(x,y\right)=0,f_x\left(a,b\right)=0}$の解${\displaystyle \left(x,y\right)=\left(a,b\right)}$に対して

${\displaystyle y^{″}=-\frac{f_{xx}\left(a,b\right)}{f_y\left(a,b\right)}>0,\left(<0\right)}$

ならば${\displaystyle y}$は極小値（極大値）${\displaystyle b}$をとる．

■証明

${\displaystyle f\left(x,y\right)=0}$  によって定められる局所的な関数${\displaystyle y=\phi \left(x\right)}$ の極値，つまり陰関数の極値を考える．

${\displaystyle x=a}$  で極値${\displaystyle b=\phi \left(a\right)}$ をとるとすると

陰関数の微分

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{f_x}{f_y}}$

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{f_{xx}{f}_y^2-2f_{xy}{f}_x{f}_y+f_{yy}{f}_x^2}{f_y^3}}$

${\displaystyle f_y\ne 0}$

より ${\displaystyle y=\phi \left(x\right)}$  が極値をもつためには

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=0}$  

でなければならない．よって

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{f_x\left(a,b\right)}{f_y\left(a,b\right)}=0}$  

この等式をみたすためには${\displaystyle f_x\left(a,b\right)=0}$ でなければならない．

これを${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$ の式に代入すると

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$${\displaystyle =-\frac{f_{xx}\left(a,b\right)f_y^2\left(a,b\right)}{f_y^3\left(a,b\right)}}$${\displaystyle =-\frac{f_{xx}\left(a,b\right)}{f_y\left(a,b\right)}}$

したがって

${\displaystyle y^{″}=-\frac{f_{xx}\left(a,b\right)}{f_y\left(a,b\right)}>0}$  のとき，極小値

${\displaystyle y^{″}=-\frac{f_{xx}\left(a,b\right)}{f_y\left(a,b\right)}<0}$  のとき，極大値となる．

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最終更新日： 2023年1月21日