問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください.

偏微分の基礎

■問題

次の関数を偏微分せよ.

z= tan 1 x y

■答

z x = 1 2 x+y x y

z y = x y 2 x+y

■ヒント

合成関数の微分を用いて偏微分する.
微分の際は tan 1 x  の微分の公式を用いる.

定義域は, x y 0 より, x0 y>0 および x0 y<0 である.

■解説

z= tan 1 x y である. を以下のような合成関数と考える.

z= tan 1 u

u= v = v 1 2

v= x y

dz du du dv v x v y を計算する.

dz du = 1 1+ u 2

du dv = 1 2 v 1 2 = 1 2 v

v x = 1 y

v y = x y 2

以上より

z x = dz du du dv v x = 1 1+ u 2 1 2 v 1 y = 1 1+ x y 1 2 x y 1 y = 1 2 x+y x y

z y = dz du du dv v y = 1 1+ u 2 1 2 v x y 2 = 1 1+ x y 1 2 x y x y 2 = x y 2 x+y

となる.

【参考】

x0 y<0 の場合,以下の微分は注意が必要である.

x x y = x x y = x x y = 1 y 1 2 1 x 1 = 1 2 xy = 1 2 x y = 1 2 x y y y = 1 2 y x y = 1 2y x y

y x y = x x y = x x y = x 1 2 1 y y 1 = x 2y y = 1 2y x y = 1 2y x y x y x y = 1 2y x y 1 x y = x 2 y 2 x y

 

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学生スタッフ作成

最終更新日: 2023年9月5日

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