# 偏微分の基礎

## ■問題

$z={\mathrm{tan}}^{-1}\sqrt{\frac{x}{y}}$

## ■答

$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{2\left(x+y\right)\sqrt{\frac{x}{y}}}$

$\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{\sqrt{\frac{x}{y}}}{2\left(x+y\right)}$

## ■解説

$z={\mathrm{tan}}^{-1}\sqrt{\frac{x}{y}}$である． を以下のような合成関数と考える．

$z={\mathrm{tan}}^{-1}u$

$u=\sqrt{v}={v}^{\frac{1}{2}}$

$v=\frac{x}{y}$

$\frac{dz}{du}$$\frac{du}{dv}$$\frac{\partial v}{\partial x}$$\frac{\partial v}{\partial y}$ を計算する．

$\frac{dz}{du}=\frac{1}{1+{u}^{2}}$

$\frac{du}{dv}=\frac{1}{2}{v}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{v}}$

$\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{1}{y}$

$\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{x}{{y}^{2}}$

$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{dz}{du}\frac{du}{dv}\frac{\partial v}{\partial x}$$=\frac{1}{1+{u}^{2}}\frac{1}{2\sqrt{v}}\frac{1}{y}$$=\frac{1}{1+\frac{x}{y}}\frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{y}}}\frac{1}{y}$$=\frac{1}{2\left(x+y\right)\sqrt{\frac{x}{y}}}$

$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{dz}{du}\frac{du}{dv}\frac{\partial v}{\partial y}$ $=\frac{1}{1+{u}^{2}}\frac{1}{2\sqrt{v}}\left(-\frac{x}{{y}^{2}}\right)$$=\frac{1}{1+\frac{x}{y}}\frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{y}}}\left(-\frac{x}{{y}^{2}}\right)$$=-\frac{\sqrt{\frac{x}{y}}}{2\left(x+y\right)}$

となる．

## 【参考】

$\left\{\begin{array}{l}x\le 0\\ y<0\end{array}\right\$の場合，以下の微分は注意が必要である．

$\frac{\partial }{\partial x}\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{\partial }{\partial x}\sqrt{\frac{-x}{-y}}$$=\frac{\partial }{\partial x}\frac{\sqrt{-x}}{\sqrt{-y}}=\frac{1}{\sqrt{-y}}\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{-x}}\left(-1\right)$$=-\frac{1}{2\sqrt{xy}}$$=-\frac{1}{2\sqrt{-x}\sqrt{-y}}$$=-\frac{1}{2\sqrt{-x}\sqrt{-y}\frac{\sqrt{-y}}{\sqrt{-y}}}$$=-\frac{1}{2\left(-y\right)\sqrt{\frac{-x}{-y}}}$$=\frac{1}{2y\sqrt{\frac{x}{y}}}$

$\frac{\partial }{\partial y}\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{\partial }{\partial x}\sqrt{\frac{-x}{-y}}$$=\frac{\partial }{\partial x}\frac{\sqrt{-x}}{\sqrt{-y}}$$=\sqrt{-x}\left(-\frac{1}{2}\right)\frac{1}{-y\sqrt{-y}}\left(-1\right)$$=-\frac{\sqrt{-x}}{2y\sqrt{-y}}$$=-\frac{1}{2y}\sqrt{\frac{x}{y}}$$=-\frac{1}{2y}\sqrt{\frac{x}{y}}\frac{\sqrt{\frac{x}{y}}}{\sqrt{\frac{x}{y}}}$$=-\frac{1}{2y}\frac{x}{y}\frac{1}{\sqrt{\frac{x}{y}}}$$=-\frac{x}{2{y}^{2}\sqrt{\frac{x}{y}}}$

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