2変数関数の極値

■問題

$f\left(x,y\right)=xy+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

■答

$\left(1,1\right)$ で極小値 $3$をとる．

■ヒント

2変数関数の極値の定理1を使用する．

$\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)=0\\ \frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)=0\end{array}$

とし，その解$\left(x,y\right)=\left(a,b\right)$を求める．

$\frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}^{2}}f\left(x,y\right)={f}_{xx}\left(x,y\right)$$\frac{{\partial }^{2}}{\partial {y}^{2}}f\left(x,y\right)={f}_{yy}\left(x,y\right)$$\frac{{\partial }^{2}}{\partial y\partial x}f\left(x,y\right)={f}_{xy}\left(x,y\right)$

をそれぞれ求め

$A={f}_{xx}\left(a,b\right)\text{\hspace{0.17em}},\text{\hspace{0.17em}}$ $D={\left\{{f}_{xy}\left(a,b\right)\right\}}^{2}-{f}_{xx}\left(a,b\right)·{f}_{yy}\left(a,b\right)$

を計算して極値を判定する．

■解答

$\frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)$ $=\frac{\partial }{\partial x}\left(xy+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)$ $=y-\frac{1}{{x}^{2}}$

$\frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)$ $=\frac{\partial }{\partial y}\left(xy+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)$ $=x-\frac{1}{{y}^{2}}$

$\left\{\begin{array}{l}y-\frac{1}{{x}^{2}}=0\text{ }\cdots \cdots \left(1\right)\\ x-\frac{1}{{y}^{2}}=0\text{ }\cdots \cdots \left(2\right)\end{array}$

(1)から

$y-\frac{1}{{x}^{2}}=0$$y=\frac{1}{{x}^{2}}$　･･････(3)

これを(2)に代入する．

$x-\frac{1}{\frac{1}{{x}^{2}}}=0$$x-\frac{1×{x}^{2}}{\frac{1}{{x}^{2}}×{x}^{2}}=0$分数の性質を用いる．），$x-\frac{{x}^{2}}{1}=0$$x-{x}^{2}=0$${x}^{2}-x=0$$x\left(x-1\right)=0$

$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ x-1=0\text{ }\cdots \cdots \left(4\right)\end{array}$

(4)から

$x-1=0$$x=1$

また，与式より$x\ne 0$ である．

よって

$x=1$

$x=1$ を(3)に代入する．

$y=\frac{1}{{1}^{2}}$$=1$

$\frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}^{2}}f\left(x,y\right)={f}_{xx}\left(x,y\right)$$\frac{{\partial }^{2}}{\partial {y}^{2}}f\left(x,y\right)={f}_{yy}\left(x,y\right)$$\frac{{\partial }^{2}}{\partial y\partial x}f\left(x,y\right)={f}_{xy}\left(x,y\right)$

をそれぞれ求める．

${f}_{xx}\left(x,y\right)=$$\frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}^{2}}f\left(x,y\right)$ $=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)\right)$ $=\frac{\partial }{\partial x}\left(y-\frac{1}{{x}^{2}}\right)$ $=\frac{2}{{x}^{3}}$

${f}_{yy}\left(x,y\right)=$ $\frac{{\partial }^{2}}{\partial {y}^{2}}f\left(x,y\right)$ $=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)\right)$ $=\frac{\partial }{\partial y}\left(x-\frac{1}{{y}^{2}}\right)$ $=\frac{2}{{y}^{3}}$

${f}_{xy}\left(x,y\right)=$ $\frac{{\partial }^{2}}{\partial y\partial x}f\left(x,y\right)$ $=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)\right)$ $=\frac{\partial }{\partial y}\left(y-\frac{1}{{x}^{2}}\right)$ $=1$

$\left(x,y\right)=\left(a,b\right)$における$A$$D$の値は

$A$$={f}_{xx}\left(a,b\right)$$=\frac{2}{{a}^{3}}$

$D$$={\left\{{f}_{xy}\left(a,b\right)\right\}}^{2}-{f}_{xx}\left(a,b\right)·{f}_{yy}\left(a,b\right)$$={1}^{2}-\frac{2}{{a}^{3}}·\frac{2}{{b}^{3}}$$=1-\frac{4}{{a}^{3}{b}^{3}}$

これを元に各点における $A,D$ を求める．

●点 $\left(1,1\right)$ においては

$A$$=\frac{2}{{1}^{3}}$$=\frac{2}{1}$$=2$

$D$$=1-\frac{4}{{1}^{3}·{1}^{3}}$$=1-\frac{4}{1·1}$$=1-\frac{4}{1}$$=1-4$$=-3$

この点での値は

$f\left(1,1\right)$$=1·1+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}$$=1+1+1$$=3$

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