# 2次の偏微分

## ■問題

$z=\sqrt{{x}^{2}-{y}^{3}}$

## ■答

$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial {x}^{2}}=-\frac{{y}^{3}}{\left({x}^{2}-{y}^{3}\right)\sqrt{{x}^{2}-{y}^{3}}}$

$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial {y}^{2}}=-\frac{3y\left(4{x}^{2}-{y}^{3}\right)}{4\left({x}^{2}-{y}^{3}\right)\sqrt{{x}^{2}-{y}^{3}}}$

$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=\frac{3x{y}^{2}}{2\left({x}^{2}-{y}^{3}\right)\sqrt{{x}^{2}-{y}^{3}}}$

## ■ヒント

2次偏導関数$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial {x}^{2}}$$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial {y}^{2}}$$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}$$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$ の4つを求める．

$\frac{\partial z}{\partial x}$$\frac{\partial z}{\partial y}$ を計算してから，それぞれを更に$x$$y$で偏微分する．

## ■解説

$z=\sqrt{{x}^{2}-{y}^{3}}$

$={\left({x}^{2}-{y}^{3}\right)}^{\frac{1}{2}}$

### ●$\frac{\partial z}{\partial x}$ の計算

$z={\left({x}^{2}-{y}^{3}\right)}^{\frac{1}{2}}$偏導関数の定義より， $y$ を定数とみなして$x$ で微分する．

$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}{\left({x}^{2}-{y}^{3}\right)}^{\frac{1}{2}}$$=\frac{1}{2}{\left({x}^{2}-{y}^{3}\right)}^{-\frac{1}{2}}\cdot 2x$$=x{\left({x}^{2}-{y}^{3}\right)}^{-\frac{1}{2}}$ 　･･････(1)

### ●$\frac{\partial z}{\partial y}$ の計算

$z={\left({x}^{2}-{y}^{3}\right)}^{\frac{1}{2}}$偏導関数の定義より， $x$ を定数とみなして$y$ で微分する．

$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}{\left({x}^{2}-{y}^{3}\right)}^{\frac{1}{2}}$$=\frac{1}{2}{\left({x}^{2}-{y}^{3}\right)}^{-\frac{1}{2}}\cdot \left(-3{y}^{2}\right)$$=-\frac{3}{2}{y}^{2}{\left({x}^{2}-{y}^{3}\right)}^{-\frac{1}{2}}$ 　･･････(2)

### ●$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial {x}^{2}}$ の計算

(1)を更に， 偏導関数の定義より， $y$ を定数とみなして $x$ で微分する．

$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial {x}^{2}}$$=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)$

$=\frac{\partial }{\partial x}\left\{x{\left({x}^{2}-{y}^{3}\right)}^{-\frac{1}{2}}\right\}$

$={\left({x}^{2}-{y}^{3}\right)}^{-\frac{1}{2}}+x\cdot \left(-\frac{1}{2}\right){\left({x}^{2}-{y}^{3}\right)}^{-\frac{3}{2}}\cdot 2x$

$=\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}-{y}^{3}}}-\frac{{x}^{2}}{\left({x}^{2}-{y}^{3}\right)\sqrt{{x}^{2}-{y}^{3}}}$

$=\frac{{x}^{2}-{y}^{3}-{x}^{2}}{\left({x}^{2}-{y}^{3}\right)\sqrt{{x}^{2}-{y}^{3}}}$

$=-\frac{{y}^{3}}{\left({x}^{2}-{y}^{3}\right)\sqrt{{x}^{2}-{y}^{3}}}$

### ●$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial {y}^{2}}$ の計算

(2)を更に， 偏導関数の定義より， $x$ を定数とみなして $y$ で微分する．

$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial {y}^{2}}$$=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)$

$=\frac{\partial }{\partial x}\left\{-\frac{3}{2}y{}^{2}\left({x}^{2}-{y}^{3}\right){}^{-\frac{1}{2}}\right\}$

$=-\frac{3}{2}\cdot 2y{\left({x}^{2}-{y}^{3}\right)}^{-\frac{1}{2}}+\left(-\frac{3}{2}{y}^{2}\right)\cdot \left(-\frac{1}{2}\right){\left({x}^{2}-{y}^{3}\right)}^{-\frac{3}{2}}\cdot \left(-3{y}^{2}\right)$

$=-3y{\left({x}^{2}-{y}^{3}\right)}^{-\frac{1}{2}}-\frac{9}{4}{y}^{4}{\left({x}^{2}-{y}^{3}\right)}^{-\frac{3}{2}}$

$=-\frac{4\cdot 3y\left({x}^{2}-{y}^{3}\right)+9{y}^{4}}{4\left({x}^{2}-{y}^{3}\right)\sqrt{{x}^{2}-{y}^{3}}}$

$=-\frac{12{x}^{2}y-12{y}^{4}+9{y}^{4}}{4\left({x}^{2}-{y}^{3}\right)\sqrt{{x}^{2}-{y}^{3}}}$

$=-\frac{3y\left(4{x}^{2}-{y}^{3}\right)}{4\left({x}^{2}-{y}^{3}\right)\sqrt{{x}^{2}-{y}^{3}}}$

### ●$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}$ の計算

(1)を更に，偏導関数の定義より， $x$ を定数とみなして $y$ で微分する．

$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)$

$=\frac{\partial }{\partial y}\left\{x{\left({x}^{2}-{y}^{3}\right)}^{-\frac{1}{2}}\right\}$

$=x\cdot \left(-\frac{1}{2}\right){\left({x}^{2}-{y}^{3}\right)}^{-\frac{3}{2}}\cdot \left(-3{y}^{2}\right)$

$=\frac{3}{2}x{y}^{2}{\left({x}^{2}-{y}^{3}\right)}^{-\frac{3}{2}}$

$=\frac{3x{y}^{2}}{2\left({x}^{2}-{y}^{3}\right)\sqrt{{x}^{2}-{y}^{3}}}$　･･････(3)

### ●$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$ の計算

(2)を更に，偏導関数の定義より， $y$ を定数とみなして $x$ で微分する．

$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)$

$=\frac{\partial z}{\partial x}\left\{-\frac{3}{2}{y}^{2}{\left({x}^{2}-{y}^{3}\right)}^{-\frac{1}{2}}\right\}$

$=-\frac{3}{2}{y}^{2}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right){\left({x}^{2}-{y}^{3}\right)}^{-\frac{3}{2}}\cdot 2x$

$=-\frac{3}{2}x{y}^{2}{\left({x}^{2}-{y}^{3}\right)}^{-\frac{3}{2}}$

$=\frac{3x{y}^{2}}{2\left({x}^{2}-{y}^{3}\right)\sqrt{{x}^{2}-{y}^{3}}}$　･･････(4)

(3)，(4)より

$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$

となり，2次偏導関数は偏微分する順序には無関係であることが確かめられた．

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