2次の偏微分

■問題

次の関数の第2次偏導関数を求めよ．

$z = \sqrt{x^{2} - y^{3}}$

■答

$\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = \frac{x^{2} - x - y^{3}}{(x^{2} - y^{3}) \sqrt{x^{2} - y^{3}}}$

$\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = - \frac{3 y (4 x^{2} - y^{3})}{4 (x^{2} - y^{3}) \sqrt{x^{2} - y^{3}}}$

$\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = \frac{2 x^{2} + 3 x y^{3} - 2 y^{3}}{2 (x^{2} - y^{3}) \sqrt{x^{2} - y^{3}}}$

■ヒント

偏導関数の定義を用いて2次の偏微分を求める．

■解説

与式を変形すると，

$z = \sqrt{x^{2} - y^{3}}$

平方根を累乗根の指数に変形する．指数が有理数の場合も参照．

$= {(x^{2} - y^{3})}^{\frac{1}{2}}$

偏導関数の定義より， $y$ を定数とみなして $x$ で微分する．

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2} {(x^{2} - y^{3})}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 x$

$= x {(x^{2} - y^{3})}^{- \frac{1}{2}}$

これを更に $x$ で偏微分すると，

$\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}$ $= \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial z}{\partial x})$

$= \frac{\partial}{\partial x} {x {(x^{2} - y^{3})}^{- \frac{1}{2}}}$

$= {(x^{2} - y^{3})}^{- \frac{1}{2}} + x \cdot (- \frac{1}{2}) {(x^{2} - y^{3})}^{- \frac{3}{2}} \cdot 2 x$

$= \frac{1}{\sqrt{x^{2} - y^{3}}} - \frac{x}{(x^{2} - y^{3}) \sqrt{x^{2} - y^{3}}}$

$= \frac{x^{2} - x - y^{3}}{(x^{2} - y^{3}) \sqrt{x^{2} - y^{3}}}$

同様の手順で $z$ を $y$ で2次の偏微分を求めると，

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x^{2} - y^{3})}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 3 y^{2})$

$= - \frac{3}{2} y {}^{2}{(x^{2} - y^{3})}^{- \frac{1}{2}}$

$\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$ $= \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial z}{\partial y})$

$= \frac{\partial}{\partial x} {- \frac{3}{2} y {}^{2}{(x^{2} - y^{3})}^{- \frac{1}{2}}}$

$= - \frac{3}{2} \cdot 2 y {(x^{2} - y^{3})}^{- \frac{1}{2}} + (- \frac{3}{2} y^{2}) \cdot (- \frac{1}{2}) {(x^{2} - y^{3})}^{- \frac{3}{2}} \cdot (- 3 y^{2})$

$= - 3 y {(x^{2} - y^{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{9}{4} y^{4} {(x^{2} - y^{3})}^{- \frac{3}{2}}$

$= - \frac{4 \cdot 3 y (x^{2} - y^{3}) + 9 y^{4}}{4 (x^{2} - y^{3}) \sqrt{x^{2} - y^{3}}}$

$= - \frac{12 x^{2} y - 12 y^{4} + 9 y^{4}}{4 (x^{2} - y^{3}) \sqrt{x^{2} - y^{3}}}$

$= - \frac{3 y (4 x^{2} - y^{3})}{4 (x^{2} - y^{3}) \sqrt{x^{2} - y^{3}}}$

$z$ を $x$ で偏微分した後 $y$ で偏微分すると，

$\frac{\partial z}{\partial x} = x {(x^{2} - y^{3})}^{- \frac{1}{2}}$

$\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial z}{\partial x})$

$= \frac{\partial}{\partial y} {x {(x^{2} - y^{3})}^{- \frac{1}{2}}}$

$= x \cdot (- \frac{1}{2}) {(x^{2} - y^{3})}^{- \frac{3}{2}} \cdot (- 3 y^{2})$

$= \frac{3}{2} x y^{2} {(x^{2} - y^{3})}^{- \frac{3}{2}}$

$= \frac{3 x y^{2}}{2 (x^{2} - y^{3}) \sqrt{x^{2} - y^{3}}}$

$z$ を $y$ で偏微分した後 $x$ で偏微分すると，

$\frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{3}{2} y^{2} {(x^{2} - y^{3})}^{- \frac{1}{2}}$

$\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial z}{\partial y})$

$= \frac{\partial z}{\partial x} {- \frac{3}{2} y^{2} {(x^{2} - y^{3})}^{- \frac{1}{2}}}$

$= - \frac{3}{2} y^{2} \cdot (- \frac{1}{2}) {(x^{2} - y^{3})}^{- \frac{3}{2}} \cdot 2 x$

$= - \frac{3}{2} x y^{2} {(x^{2} - y^{3})}^{- \frac{3}{2}}$

$= \frac{3 x y^{2}}{2 (x^{2} - y^{3}) \sqrt{x^{2} - y^{3}}}$

以上より，2次偏導関数は偏微分する順序には無関係であることが確かめられた．

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月29日