問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください.

合成関数の2次偏導関数

■問題

z=f( x,y ),x=rcosθ,y=rsinθ のとき

2 z x 2 + 2 z y 2 = 2 z r 2 + 1 r z r + 1 r 2 2 z θ 2

となることを示せ.

■ヒント

右辺を変形して左辺を導く.

x y r θ でそれぞれ2回偏微分する. 求めた式を 合成関数の1次偏導関数の公式合成関数の2次偏導関数の公式に 代入する.

■解説

x r 偏微分すると

x r = cos θ

となる.これを更に r 偏微分すると

2 x r 2 = r ( x r ) = r ( cos θ ) = 0

となる.

同様の手順で y r 偏微分を繰り返すと

y r = sin θ

2 y r 2 = r ( y r ) = r ( sin θ ) = 0

となる.

θ についても同様に偏微分すると

x θ = r sin θ

2 x θ 2 = θ ( x θ ) = θ ( rsinθ )=rcosθ

y θ = r cos θ

2 y θ 2 = θ ( y θ ) = θ ( rcosθ )=rsinθ

以上の結果と合成関数の1次偏導関数の公式合成関数の2次偏導関数の公式より

2 z r 2 = f x x ( x r ) 2 + 2 f x y x r y r + f y y ( y r ) 2 + f x 2 x r 2 + f y 2 y r 2

= f x x ( cos θ ) 2 + 2 f x y cos θ sin θ + f y y ( sin θ ) 2 + f x · 0 + f y · 0

= f x x cos 2 θ + 2 f x y sin θ cos θ + f y y sin 2 θ  ・・・・・・(1)

1 r z r = 1 r { f x x r + f y y r }

= 1 r { f x ( r cos θ ) + f y ( r sin θ ) }

= 1 r { r f x cos θ + r f y sin θ }

= f x cos θ + f y sin θ  ・・・・・・(2)

1 r 2 2 z θ 2 = 1 r 2 { f xx ( x θ ) 2 +2 f xy x θ y θ + f yy ( y θ ) 2 + f x 2 x θ 2 + f y 2 y θ 2 }

= 1 r 2 { f x x ( r sin θ ) 2 + 2 f x y ( r sin θ ) · r cos θ + f y y ( r cos θ ) 2 + f x · ( r 2 cos θ ) + f y · ( r 2 sin θ ) }

= 1 r 2 ( r 2 f x x sin 2 θ 2 r 2 f x y sin θ cos θ + r 2 f y y cos 2 θ r 2 f x cos θ r 2 f y s i n θ )

= f x x sin 2 θ 2 f x y sin θ cos θ + f y y cos 2 θ f x cos θ f y s i n θ  ・・・・・・(3)

したがって,(1),(2),(3)より

2 z r 2 + 1 r z r + 1 r 2 2 z θ 2

= ( f x x cos 2 θ + 2 f x y sin θ cos θ + f y y sin 2 θ ) + ( f x cos θ + f y sin θ )

+ ( f x x sin 2 θ 2 f x y sin θ cos θ + f y y cos 2 θ f x cos θ f y s i n θ )

= f x x ( cos 2 θ + sin 2 θ ) + f y y ( cos 2 θ + sin 2 θ )

= f x x + f y y

= 2 z x 2 + 2 z y 2

となり

2 z x 2 + 2 z y 2 = 2 z r 2 + 1 r z r + 1 r 2 2 z θ 2

が成り立つ.

 

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>偏微分>>問題演習

学生スタッフ作成

最終更新日: 2023年9月1日

[ページトップ]

金沢工業大学

利用規約

google translate (English version)