# 2変数関数の極値

## ■問題

$f\left(x,y\right)={x}^{3}+{y}^{3}+6xy-24$

## ■答

$\left(-2,-2\right)$ で極大値 $-16$ をとる．

## ■ヒント

2変数関数の極値の定理1を使用する．

$\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)=0\\ \frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)=0\end{array}$

とし，その解$\left(x,y\right)=\left(a,b\right)$を求める．

$\frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}^{2}}f\left(x,y\right)={f}_{xx}\left(x,y\right)$$\frac{{\partial }^{2}}{\partial {y}^{2}}f\left(x,y\right)={f}_{yy}\left(x,y\right)$$\frac{{\partial }^{2}}{\partial y\partial x}f\left(x,y\right)={f}_{xy}\left(x,y\right)$

をそれぞれ求め

$A={f}_{xx}\left(a,b\right)\text{\hspace{0.17em}},\text{\hspace{0.17em}}$ $D={\left\{{f}_{xy}\left(a,b\right)\right\}}^{2}-{f}_{xx}\left(a,b\right)·{f}_{yy}\left(a,b\right)$

を計算して極値を判定する．

## ■解説

$\frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)$ $=\frac{\partial }{\partial x}\left({x}^{3}+{y}^{3}+6xy-24\right)$ $=3{x}^{2}+6y$

$\frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)$ $=\frac{\partial }{\partial y}\left({x}^{3}+{y}^{3}+6xy-24\right)$ $=3{y}^{2}+6x$

$\left\{\begin{array}{l}3{x}^{2}+6y=0\text{ }\cdots \cdots \left(1\right)\\ 3{y}^{2}+6x=0\text{ }\cdots \cdots \left(2\right)\end{array}$

(1)から

$3{x}^{2}+6y=0$${x}^{2}+2y=0$$2y=-{x}^{2}$$y=-\frac{1}{2}{x}^{2}$　･･････(3)

これを(2)に代入する．

$3{\left(-\frac{1}{2}{x}^{2}\right)}^{2}+6x=0$${\left(-\frac{1}{2}{x}^{2}\right)}^{2}+2x=0$$\frac{1}{4}{x}^{4}+2x=0$${x}^{4}+8x=0$$x\left({x}^{3}+8\right)=0$

$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ {x}^{3}+8=0\text{ }\cdots \cdots \left(4\right)\end{array}$

(4)から

${x}^{3}+8=0$${x}^{3}=-8$${x}^{3}$$={\left(-2\right)}^{3}$$x=-2$

(3)に $x=0$ を代入する．

$y$$=-\frac{1}{2}·{0}^{2}$$=0$

(3)に $x=-2$ を代入する．

$y$$=-\frac{1}{2}·{\left(-2\right)}^{2}$$=-\frac{1}{2}·4$$=-2$

$\frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}^{2}}f\left(x,y\right)={f}_{xx}\left(x,y\right)$$\frac{{\partial }^{2}}{\partial {y}^{2}}f\left(x,y\right)={f}_{yy}\left(x,y\right)$$\frac{{\partial }^{2}}{\partial y\partial x}f\left(x,y\right)={f}_{xy}\left(x,y\right)$

をそれぞれ求める．

${f}_{xx}\left(x,y\right)=$$\frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}^{2}}f\left(x,y\right)$ $=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)\right)$ $=\frac{\partial }{\partial x}\left(3{x}^{2}+6y\right)$ $=6x$

${f}_{yy}\left(x,y\right)=$$\frac{{\partial }^{2}}{\partial {y}^{2}}f\left(x,y\right)$ $=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)\right)$ $=\frac{\partial }{\partial y}\left(3{y}^{2}+6x\right)$ $=6y$

${f}_{xy}\left(x,y\right)=$$\frac{{\partial }^{2}}{\partial y\partial x}f\left(x,y\right)$ $=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)\right)$ $=\frac{\partial }{\partial y}\left(3{x}^{2}+6y\right)$ $=6$

$\left(x,y\right)=\left(a,b\right)$における$A$$D$の値は

$A$$={f}_{xx}\left(a,b\right)$$=6a$

$D$$={\left\{{f}_{xy}\left(a,b\right)\right\}}^{2}-{f}_{xx}\left(a,b\right)·{f}_{yy}\left(a,b\right)$$={6}^{2}-6a·6b$$=36-36ab$$=36\left(1-ab\right)$

これを元に各点における $A,D$ を求める．

●点 $\left(0,0\right)$ においては

$A$$=6·0$$=0$

$D$$=36\left(1-0·0\right)$$=36·1$$=36$

$D>0$ となり $\left(0,0\right)$ は極値ではない．

●点 $\left(-2,-2\right)$ においては

$A$$=6·\left(-2\right)$ $=-12$

$D$$=36\left\{1-\left(-2\right)·\left(-2\right)\right\}$$=36·\left(1-4\right)$$=36·\left(-3\right)$$=-108$

となり， $A<0,D<0$ から点 $\left(-2,-2\right)$ で極大となる．

この点での値は，

$f\left(-2,-2\right)$$={\left(-2\right)}^{3}+{\left(-2\right)}^{3}+6·\left(-2\right)·\left(-2\right)-24$$=-8-8+24-24$$=-16$

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