2次の偏微分

■問題

次の関数の第2次偏導関数を求めよ．

$z = e^{2 x^{3} y^{2}}$

■答

$\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = 12 x y^{2} e^{2 x^{3} y^{2}} (1 + 3 x^{3} y^{2})$ ， $\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = 4 x^{3} e^{2 x^{3} y^{2}} (1 + 4 x^{3} y)$ ， $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = 12 x^{3} y e^{2 x^{3} y^{2}} (1 + 2 x^{3} y^{2})$

■ヒント

偏導関数の定義を用いて2次の偏微分を求める．

■解説

偏導関数の定義より， $y$ を定数とみなして $x$ で微分する．

$\frac{\partial z}{\partial x} = e^{2 x^{3} y^{2}} \times \frac{\partial}{\partial x} (2 x^{3} y^{2})$

$= 6 x^{2} y^{2} e^{2 x^{3} y^{2}}$

これを更に $x$ で偏微分すると，

$\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}$ $= \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial z}{\partial x})$

$= \frac{\partial}{\partial x} (6 x^{2} y^{2} e^{2 x^{3} y^{2}})$

$= 12 x y^{2} e^{2 x^{3} y^{2}} + 6 x^{2} y^{2} \cdot e^{2 x^{3} y^{2}} \times \frac{\partial}{\partial x} (2 x^{3} y^{2})$

$= 12 x y^{2} e^{2 x^{3} y^{2}} + 6 x^{2} y^{2} \cdot 6 x^{2} y^{2} e^{2 x^{3} y^{2}}$

$= 12 x y^{2} e^{2 x^{3} y^{2}} (1 + 3 x^{3} y^{2})$

同様の手順で偏導関数の定義より， $x$ を定数とみなして $y$ で微分する．

$\frac{\partial z}{\partial y} = e^{2 x^{3} y^{2}} \times \frac{\partial}{\partial y} (2 x^{3} y^{2})$

$= 4 x^{3} y e^{2 x^{3} y^{2}}$

$\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$ $= \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial z}{\partial y})$

$= \frac{\partial}{\partial y} (4 x^{3} y e^{2 x^{3} y^{2}})$

$= 4 x^{3} e^{2 x^{3} y^{2}} + 4 x^{3} e^{2 x^{3} y^{2}} \times \frac{\partial}{\partial y} (2 x^{3} y^{2})$

$= 4 x^{3} e^{2 x^{3} y^{2}} + 4 x^{3} \cdot 4 x^{3} y e^{2 x^{3} y^{2}}$

$= 4 x^{3} e^{2 x^{3} y^{2}} (1 + 4 x^{3} y)$

$z$ を $x$ で偏微分した後 $y$ で偏微分すると，

$\frac{\partial z}{\partial x} = 6 x^{2} y^{2} e^{2 x^{3} y^{2}}$

$\frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial z}{\partial x})$ $= \frac{\partial^{2}}{\partial y \partial x}$

$= \frac{\partial}{\partial y} (6 x^{2} y^{2} e^{2 x^{3} y^{2}})$

$= 12 x^{2} y e^{2 x^{3} y^{2}} + 6 x^{2} y^{2} e^{2 x^{3} y^{2}} \times \frac{\partial}{\partial y} (2 x^{3} y^{2})$

$= 12 x^{2} y e^{2 x^{3} y^{2}} + 6 x^{2} y^{2} e^{2 x^{3} y^{2}} \times 4 x^{3} y$

$= 12 x^{2} y e^{2 x^{3} y^{2}} (1 + 2 x^{3} y^{2})$

$z$ を $y$ で偏微分した後 $x$ で偏微分すると，

$\frac{\partial z}{\partial y} = 4 x^{3} y e^{2 x^{3} y^{2}}$

$\frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial z}{\partial y})$ $= \frac{\partial^{2}}{\partial x \partial y}$

$= \frac{\partial}{\partial x} (4 x^{3} y e^{2 x^{3} y^{2}})$

$= 12 x^{2} y e^{2 x^{3} y^{2}} + 4 x^{3} y e^{2 x^{3} y^{2}} \times \frac{\partial}{\partial x} (2 x^{3} y^{2})$

$= 12 x^{2} y e^{2 x^{3} y^{2}} + 4 x^{3} y e^{2 x^{3} y^{2}} \times 6 x^{2} y^{2}$

$= 12 x^{2} y e^{2 x^{3} y^{2}} (1 + 2 x^{3} y^{2})$

以上より，2次偏導関数は偏微分する順序には無関係であることが確かめられた．

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月29日