問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

マクローリン展開

■問題

次の関数のマクローリン展開式を第3次の項まで求めよ．

${\displaystyle f\left(x,y\right)=e^x\sin y}$

■答

${\displaystyle f\left(x,y\right)=y+xy+\frac{1}{2}{x}^{2}y-\frac{1}{6}{y}^3+\cdot \cdot \cdot }$

■ヒント

2変数のマクローリンの定理

■解き方

${\displaystyle f\left(0,0\right)=0}$

${\displaystyle f_x=e^x\sin y}$    ${\displaystyle \therefore f_x\left(0,0\right)=0}$

${\displaystyle f_y=e^x\cos y}$    ${\displaystyle \therefore f_y(0,0)=1}$

${\displaystyle f_{xx}=e^x\sin y}$    ${\displaystyle \therefore f_{xx}\left(0,0\right)=0}$

${\displaystyle f_{yy}=-e^x\sin y}$    ${\displaystyle \therefore f_{yy}(0,0)=0}$

${\displaystyle f_{yx}=e^x\cos y}$    ${\displaystyle \therefore f_{yx}(0,0)=1}$

${\displaystyle f_{xxx}=e^x\sin y}$    ${\displaystyle \therefore f_{xxx}\left(0,0\right)=0}$

${\displaystyle f_{yyy}=-e^x\cos y}$     ${\displaystyle \therefore f_{yyy}(0,0)=-1}$

${\displaystyle f_{yxx}=e^x\cos y}$    ${\displaystyle \therefore f_{yxx}(0,0)=1}$

${\displaystyle f_{yyx}=-e^x\sin y}$    ${\displaystyle \therefore f_{yyx}(0,0)=0}$

よって

${\displaystyle =y+\frac{1}{2!}\left(2xy\right)+\frac{1}{3!}(3x^{2}y-y^3)+\cdot \cdot \cdot }$

${\displaystyle =y+xy+\frac{1}{2}{x}^{2}y-\frac{1}{6}{y}^3+\cdot \cdot \cdot }$

　

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最終更新日： 2023年9月29日

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