問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

調和関数

■問題

次の関数は調和関数であることを示せ．

${\displaystyle f\left(x,y\right)={\tan }^{-1}\frac{y}{x}}$

■ヒント

調和関数の定義

${\displaystyle \Delta f=\left(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}\right)f}$ ${\displaystyle =\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}}$ ${\displaystyle =f_{xx}+f_{yy}}$ ${\displaystyle =0}$

がなりたつことを示す．

■答

${\displaystyle f_x=\frac{1}{1+{\left(\frac{y}{x}\right)}^2}\times \left(-\frac{y}{x^2}\right)}$${\displaystyle =\frac{x^2}{x^2+y^2}\times \left(-\frac{y}{x^2}\right)}$${\displaystyle =-\frac{y}{x^2+y^2}}$

${\displaystyle f_{xx}=-\frac{-y\cdot 2x}{{\left(x^2+y^2\right)}^2}}$${\displaystyle =\frac{2xy}{{\left(x^2+y^2\right)}^2}}$

${\displaystyle f_y=\frac{1}{1+{\left(\frac{y}{x}\right)}^2}\times \left(\frac{1}{x}\right)}$${\displaystyle =\frac{x^2}{x^2+y^2}\times \left(\frac{1}{x}\right)}$${\displaystyle =\frac{x}{x^2+y^2}}$

${\displaystyle f_{yy}=-\frac{-x\cdot 2y}{{\left(x^2+y^2\right)}^2}}$${\displaystyle =-\frac{2xy}{{\left(x^2+y^2\right)}^2}}$

${\displaystyle \therefore \Delta f=f_{xx}+f_{yy}}$${\displaystyle =\frac{2xy}{\left(x^2+y^2\right)}+\left\{-\frac{2xy}{{\left(x^2+y^2\right)}^2}\right\}}$${\displaystyle =0}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年9月29日

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