問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください.

調和関数に関する問題

■問題

次の関数は調和関数であることを示せ.

f( x,y )= tan 1 y x

■ヒント

調和関数の定義

Δf= 2 x 2 + 2 y 2 f = 2 f x 2 + 2 f x 2 = f xx + f yy =0

がなりたつことを示す.

■答

f x = 1 1+ ( y x ) 2 ×( y x 2 ) = x 2 x 2 + y 2 ×( y x 2 ) = y x 2 + y 2

f xx = y2x ( x 2 + y 2 ) 2 = 2xy ( x 2 + y 2 ) 2

f y = 1 1+ ( y x ) 2 ×( 1 x ) = x 2 x 2 + y 2 ×( 1 x ) = x x 2 + y 2

f yy = x2y ( x 2 + y 2 ) 2 = 2xy ( x 2 + y 2 ) 2

Δf= f xx + f yy = 2xy ( x 2 + y 2 ) +{ 2xy ( x 2 + y 2 ) 2 } =0

 

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学生スタッフ作成
最終更新日: 2024年5月28日

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