偏微分の基礎

■問題

次の関数を偏微分せよ．

$z = \sqrt{5 x^{2} + 7 y^{3}}$

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{5 x}{\sqrt{5 x^{2} + 7 y^{3}}}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{21 y^{2}}{2 \sqrt{5 x^{2} + 7 y^{3}}}$

平方根を累乗根の指数形である ${(5 x^{2} + 7 y^{3})}^{\frac{1}{2}}$ に変形し，合成関数の微分を行う．
偏導関数の定義を用いて偏微分する．

$z = \sqrt{5 x^{2} + 7 y^{3}} = {(5 x^{2} + 7 y^{3})}^{\frac{1}{2}}$

$u = 5 x^{2} + 7 y^{3}$ とおくと，

$z = u^{\frac{1}{2}}$

微分する．

$\frac{d z}{d u}$ $= \frac{1}{2} \cdot u^{\frac{1}{2} - 1}$

$= \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}}$

$= \frac{1}{2 \sqrt{u}}$ (指数が有理数の場合も参照．)

偏導関数の定義より， $y$ を定数とみなして $x$ で微分する．

$\frac{\partial u}{\partial x} = 5 \cdot 2 \cdot x^{2 - 1} = 10 x$

$\frac{d z}{d u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{10 x}{2 \sqrt{u}} = \frac{5 x}{\sqrt{u}}$

$u = 5 x^{2} + 7 y^{3}$ を代入する．

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{5 x}{\sqrt{5 x^{2} + 7 y^{3}}}$

偏導関数の定義より， $x$ を定数とみなして $y$ で微分する．

$\frac{\partial u}{\partial y} = 7 \cdot 3 \cdot y^{3 - 1} = 21 y^{2}$

$\frac{d z}{d u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{2 \sqrt{u}} \cdot 21 y^{2}$

$u = 5 x^{2} + 7 y^{3}$ を代入する．

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{21 y^{2}}{2 \sqrt{5 x^{2} + 7 y^{3}}}$

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月24日