問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

陰関数の極値

■問題

次の関係で定義される陰関数 ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ の極値を調べよ．

${\displaystyle x^2{y}^2-2x+9y^2=0}$

■答

${\displaystyle x=3}$ のとき，極小値 ${\displaystyle -\sqrt{\frac{1}{3}}}$ をとり， ${\displaystyle x=3}$ のとき，極大値 ${\displaystyle \sqrt{\frac{1}{3}}}$ をとる．

■ヒント

関数の極値の定理２を用いて極大・極小を判断する．

■解説

${\displaystyle f\left(x,y\right)=x^2{y}^2-2x+9y^2}$　･･････(1)

とおく．

(1)を偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle f_x}$ ${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left(x^2{y}^2-2x+9y^2\right)}$ ${\displaystyle =2y^{2}x-2}$

よって，${\displaystyle f_x\left(x,y\right)=0}$となるのは

${\displaystyle 2y^{2}x-2}$ ${\displaystyle =0}$

${\displaystyle 2y^{2}x}$ ${\displaystyle =2}$

${\displaystyle x{y}^2}$ ${\displaystyle =1}$

${\displaystyle y^2}$ ${\displaystyle =\frac{1}{x}}$

${\displaystyle y^2\geqq 0}$ より，${\displaystyle x>0}$ となる．このとき

${\displaystyle y}$ ${\displaystyle =\pm \sqrt{\frac{1}{x}}}$

${\displaystyle y=\sqrt{\frac{1}{x}}}$ を与式に代入して

${\displaystyle x^2{\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)}^2-2x+9{\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)}^2=0}$

${\displaystyle x^2·\frac{1}{x}-2x+9·\frac{1}{x}}$ ${\displaystyle =0}$

${\displaystyle x-2x+\frac{9}{x}}$ ${\displaystyle =0}$
${\displaystyle -x+\frac{9}{x}}$ ${\displaystyle =0}$

${\displaystyle -x}$ ${\displaystyle =-\frac{9}{x}}$

${\displaystyle x^2}$ ${\displaystyle =9}$

${\displaystyle x>0}$ より

${\displaystyle x}$ ${\displaystyle =3}$

${\displaystyle y=-\sqrt{\frac{1}{x}}}$ を代入すると

${\displaystyle x^2{\left(-\sqrt{\frac{1}{x}}\right)}^2-2x+9{\left(-\sqrt{\frac{1}{x}}\right)}^2}$ ${\displaystyle =0}$

${\displaystyle x^2·\frac{1}{x}-2x+9·\frac{1}{x}}$ ${\displaystyle =0}$

${\displaystyle x-2x+\frac{9}{x}}$ ${\displaystyle =0}$

となり， ${\displaystyle y=\sqrt{\frac{1}{x}}}$ と同じ式となるので，同様に

${\displaystyle x=3}$

となる．

故に極値をとる候補は， ${\displaystyle y=\pm \sqrt{\frac{1}{x}}}$ の関係から，${\displaystyle x=3}$ を代入したときに得られる ${\displaystyle \left(3,\sqrt{\frac{1}{3}}\right),\left(3,-\sqrt{\frac{1}{3}}\right)}$ の2点となる．

次に，上記2点(${\displaystyle y^{\prime }=0}$ ，言い換えると，${\displaystyle f_x\left(x,y\right)=0}$ )における ${\displaystyle y^{″}}$ を求める．この場合

${\displaystyle y^{″}=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{f_{xx}}{f_y}}$　･･････(2)

の関係がある．(関数の極値の定理２を参照)

${\displaystyle f_{xx}}$ ${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}{f}_x}$ ${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left(2y^{2}x-2\right)}$${\displaystyle =2y^2}$　･･････(3)

${\displaystyle f_y=\frac{\partial }{\partial y}\left(x^2{y}^2-2x+9y^2\right)}$${\displaystyle =2x^{2}y+18y}$　･･････(4)

(3)，(4)を(2)に代入する．

${\displaystyle y^{″}=-\frac{2y^2}{2x^{2}y+18y}}$ ${\displaystyle =-\frac{y}{x^2+9}}$

${\displaystyle \left(3,\sqrt{\frac{1}{3}}\right)}$ のとき ${\displaystyle y^{″}}$ は，

${\displaystyle y^{″}=-\frac{\sqrt{\frac{1}{3}}}{3^2+9}}$ ${\displaystyle =-\frac{1}{9+9}\sqrt{\frac{1}{3}}}$ ${\displaystyle =-\frac{1}{81}\sqrt{\frac{1}{3}}}$

よって

${\displaystyle y^{″}<0}$

${\displaystyle \left(3,-\sqrt{\frac{1}{3}}\right)}$ のとき ${\displaystyle y^{″}}$ は

${\displaystyle y^{″}=-\frac{-\sqrt{\frac{1}{3}}}{3^2+9}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{9+9}\sqrt{\frac{1}{3}}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{81}\sqrt{\frac{1}{3}}}$

よって

${\displaystyle y^{″}>0}$

以上から， ${\displaystyle x=3}$ のとき，極小値 ${\displaystyle -\sqrt{\frac{1}{3}}}$ をとり， ${\displaystyle x=3}$ のとき，極大値 ${\displaystyle \sqrt{\frac{1}{3}}}$ をとる．

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年9月17日

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