概念問題 解答

微積分学　微分方程式

問題8の解答

$t=0$ のとき $y=1$ より，3と4は除かれる．1と2のグラフは $y>0$ である．

${\displaystyle \frac{dy}{dt}=y}$ 　･･････(1)

より， $y>0$ のとき， $y$ の増加とともにグラフの接線の傾きが増加するものを選べばよい．

以上より，答えは1となる．

実際に(1)の微分方程式を解いてみる．(1)は変数分離形の微分方程式である．(1)より

${\displaystyle \frac{1}{y}dy=dt}$

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{y}dy}={\displaystyle \int dt}}$

${\displaystyle \log \left|y\right|=t+C}$

（$C$は任意定数）

${\displaystyle \left|y\right|=e^{t+C}}$

${\displaystyle \left|y\right|=e^C{e}^t}$

${\displaystyle y=\pm e^C{e}^t}$

初期条件（ $t=0$ のとき $y=1$ ）より

${\displaystyle 1=\pm e^C{e}^0}$

${\displaystyle \pm e^C=1}$

よって，初期条件を満たす(1)の解は

${\displaystyle y=e^t}$　･･････(2)

となる．

(2)の関数のグラフを選択するよよい．