変数分離形微分方程式

変数分離形微分方程式

微分方程式

dy dx = f( x ) g( y )

変数分離形という(ただし g( y )0 ).

また

f( x ) g( y ) =f( x ) 1 g( y )  

1 g( y ) =h( y )  とおくと

f( x ) g( y ) =f( x )h( y )  

というように右辺を変形して

dy dx =f( x )h( y )  

変数分離形としている場合もある.

■変数分離形微分方程式の解法

その1

f ( x ) = g ( y ) d y d x

= d d y { g ( y ) d y } d y d x

g ( y ) = d d y { g ( y ) d y }  (不定積分の定義)

= d d x { g ( y ) d y }

z= g( y )dy とおくと, dz dy dy dx = dz dx  (合成関数の導関数)

よって, g( y )dy f( x ) 原始関数(不定積分)になるので

f( x )dx = g( y )dy +C

その2

g( y ) dy dx =f( x )  

両辺を x  で積分する

g( y ) dy dx dx = f( x )dx +C  

左辺は置換積分により g( y ) dy dx dx = g( y )dy  となる.

よって

g( y )dy = f( x )dx +C  

その3

形式的に以下のように記述してもよい.

g( y )dy=f( x )dx

両辺を積分して

g( y )dy= f( x )dx +C

 

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 最終更新日: 2023年6月9日