概念問題 解答

微積分学　微分方程式

問題9の解答

${\displaystyle \frac{dy}{dt}=ky}$　($k>0$) 　･･････(1)

より， $y>0$ のとき， $y$ の増加とともにグラフの接線の傾きが増加し，増加の割合が $k$ の値で変化する．

$y<0$ のとき， $\left|y\right|$ の増加とともにグラフの接線の傾きが減少(傾きの絶対値は増加)し，減少の割合が $k$ の値で変化する．

上記内容に合う選択肢を選べばよい．

以上より，答えは5となる．

実際に(1)の微分方程式を解いてみる．(1)は変数分離形の微分方程式である．(1)より

●$y\ne 0$のとき

${\displaystyle \frac{1}{y}dy=kdt}$

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{y}dy}={\displaystyle \int kdt}}$

${\displaystyle \log \left|y\right|=kt+C}$

（$C$は任意定数）

${\displaystyle \left|y\right|=e^{kt+C}}$

${\displaystyle \left|y\right|=e^C{e}^{kt}}$

${\displaystyle y=\pm e^C{e}^{kt}}$

${\displaystyle \pm e^C=A\ne 0}$ とおくと

${\displaystyle y=A{e}^{kt}}$　･･････(2)

●$y=0$のとき

$y=0$　･･････(3)

が(1)の解になっている．これは，(2)において $A=0$ に相当する．

●(2)と(3)を合わせると

${\displaystyle y=A{e}^{kt}}$　($A$ は任意定数)　･･････(4)

となる．

(4)の関数のグラフを選択するよよい．このとき，$k>0$ ， $A$ が任意定数であることに注意すること．