概念問題 解答

線形代数　行列式

問題1の解答

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 2& 3\end{array}\right)$のとき

行列のスカラー倍の性質より

$2A=2\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 2& 3\end{array}\right)$$=\left(\begin{array}{ccc}2\cdot 1& 2\cdot 1& 2\cdot 1\\ 2\cdot 1& 2\cdot 2& 2\cdot 1\\ 2\cdot 1& 2\cdot 2& 2\cdot 3\end{array}\right)$

となる．よって

$\left|2A\right|=\left|\begin{array}{ccc}2\cdot 1& 2\cdot 1& 2\cdot 1\\ 2\cdot 1& 2\cdot 2& 2\cdot 1\\ 2\cdot 1& 2\cdot 2& 2\cdot 3\end{array}\right|$

各行は共通因数2を持つ．行列式の定数倍の性質より，各行から2をくくりだす．

$=2^3\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 2& 3\end{array}\right|$

$=8\left|A\right|$

すなわち

$\left|2A\right|=8\left|A\right|$

よって，6が正解となる．