定数倍の性質

行列式の1つの行（または列）の各成分に一定の数 ${\displaystyle c}$ をかけた行列式の値は，元の行列式の値の ${\displaystyle c}$ 倍になる．式で表すと

${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ c{a}_{t1}& c{a}_{t2}& \cdots & c{a}_{tn}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|}$${\displaystyle =c\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{t1}& a_{t2}& \cdots & a_{tn}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|}$

また，この性質は行列式の転置における性質から，ある列の各成分に一定の数 ${\displaystyle c}$がかけられている場合でも成立する． 

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■具体例

例1：2次の行列式の場合

${\displaystyle \left|\begin{array}{cc}2a& 2b\\ c& d\end{array}\right|}$${\displaystyle =\left(2a\right)d-\left(2b\right)c}$${\displaystyle =2\left(ad-bc\right)}$${\displaystyle =2\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|}$  

例2：3次の行列式の場合

${\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ 2a_{21}& 2a_{22}& 2a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|}$  

${\displaystyle =a_{11}\left(2a_{22}\right)a_{33}+a_{12}\left(2a_{23}\right)a_{31}}$${\displaystyle +a_{13}\left(2a_{21}\right)a_{32}-a_{11}\left(2a_{23}\right)a_{32}}$${\displaystyle -a_{12}\left(2a_{21}\right)a_{33}+a_{13}\left(2a_{22}\right)a_{31}}$  

${\displaystyle =2(a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}}$${\displaystyle +a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}}$${\displaystyle -a_{12}{a}_{21}{a}_{33}+a_{13}{a}_{22}{a}_{31})}$  

${\displaystyle =2\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|}$  

例3：第1行の成分が2の倍数である場合

${\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}2& 4& 6\\ 3& 2& 1\\ 4& 5& 6\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\\ 4& 5& 6\end{array}\right|}$

例4：第1列の成分が2の倍数である場合

${\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}2& 3& 4\\ 4& 2& 5\\ 6& 1& 6\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 2& 2& 5\\ 3& 1& 6\end{array}\right|}$  

 

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最終更新日： 2022年8月27日