定数倍の性質の証明

定数倍の性質の証明

行列 A t 行の各成分を c 倍した行列を B とする.

A = a 11 a 12 a 1 n c a t 1 c a t 2 c a t n a n 1 a n 2 a n n

B=( b 11 b 12 b 1n b t1 b t2 b tn b n1 b n2 b nn ) =( a 11 a 12 a 1n c a t1 c a t2 c a tn a n1 a n2 a nn )

とおく.

行列式の定義より

| B |= n sgn( 1 t n i 1 i t i n ) b 1 i 1 ·· b t i t ·· b n i n

となる.これを以下のように式変形をする.

= n sgn( 1 t n i 1 i t i n ) a 1 i 1 ··( c a t i t )·· a n i n

=c n sgn( 1 t n i 1 i t i n ) a 1 i 1 ·· a t i t ·· a n i n

=c| A |

以上より

| B |=c| A |

転置の性質 | A | = | A t | より, t 列を c 倍しした場合も同様にして証明できる.

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最終更新日: 2022年8月27日