行列 A の t 行の各成分を c 倍した行列を B とする.
A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ c a t 1 c a t 2 ⋯ c a t n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n
B=( b 11 b 12 ⋯ b 1n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b t1 b t2 ⋯ b tn ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b n1 b n2 ⋯ b nn ) =( a 11 a 12 ⋯ a 1n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ c a t1 c a t2 ⋯ c a tn ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n1 a n2 ⋯ a nn )
とおく.
行列式の定義より
| B |= ∑ n sgn( 1 ⋯ t ⋯ n i 1 ⋯ i t ⋯ i n ) b 1 i 1 ·⋯· b t i t ·⋯· b n i n
となる.これを以下のように式変形をする.
= ∑ n sgn( 1 ⋯ t ⋯ n i 1 ⋯ i t ⋯ i n ) a 1 i 1 ·⋯·( c a t i t )·⋯· a n i n
=c ∑ n sgn( 1 ⋯ t ⋯ n i 1 ⋯ i t ⋯ i n ) a 1 i 1 ·⋯· a t i t ·⋯· a n i n
=c| A |
以上より
| B |=c| A |
転置の性質 | A | = | A t | より, t 列を c 倍しした場合も同様にして証明できる.
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最終更新日: 2022年8月27日