転置の性質

ある行列の転置行列の行列式の値はもとの行列の行列式の値と変わらない．

式で表すと

$n$ 次の正方行列

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix})$

のとき

$| A | = | {}^{t}A |$

すなわち

$| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |$ $= | \begin{matrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{n 1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{n 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{1 n} & a_{2 n} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |$

となる．

⇒証明へ

第1行と第1列，第2行と第2列，…，第 $n$ 行と第 $n$ 列，と行と列の成分が全て入れ替わる．この性質から，行で成立する定理は列でも成立することがわかる．

■具体例

2次の行列式の場合

$| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | = a d - b c = a d - c b = | \begin{matrix} a & c \\ d & d \end{matrix} |$

3次の行列式の場合

$| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} |$

$= a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31}$ $+ a_{13} a_{21} a_{32} - a_{11} a_{23} a_{32}$ $- a_{12} a_{21} a_{33} - a_{13} a_{22} a_{31}$

$= a_{11} a_{22} a_{33} + a_{31} a_{12} a_{23}$ $+ a_{21} a_{32} a_{13} - a_{11} a_{32} a_{23}$ $- a_{21} a_{12} a_{33} - a_{31} a_{22} a_{13}$

$= a_{11} a_{22} a_{33} + a_{21} a_{32} a_{13}$ $+ a_{31} a_{12} a_{23} - a_{11} a_{32} a_{23}$ $- a_{21} a_{12} a_{33} - a_{31} a_{22} a_{13}$

$= | \begin{matrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{matrix} |$

この例では，1から25までの数字を横並びにした行列式を用いる．

転置の性質を利用すると，行列式は以下のようになる．

$| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \end{matrix} |$ $= | \begin{matrix} 1 & 6 & 11 & 16 & 21 \\ 2 & 7 & 12 & 17 & 22 \\ 3 & 8 & 13 & 18 & 23 \\ 4 & 9 & 14 & 19 & 24 \\ 5 & 10 & 15 & 20 & 25 \end{matrix} |$

このように，行の左から右へ大きくなっていた成分が，列の上から下へ大きくなるように入れ替わっても行列式の値は変わらない．

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最終更新日： 2022年9月8日