転置行列の行列式の値が元の行列の行列式の値と等しいことの証明

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix})$ のとき，行列式の定義より

$| A | = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |$ $= \sum_{n} sgn (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & n \\ i_{1} & i_{2} & \dots & i_{n} \end{matrix}) a_{1 i_{1}} a_{2 i_{2}} \dots a_{n i_{n}}$ ・・・・・・(1)

${}^{t}A = (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{n 1} & b_{n 2} & \dots & b_{n n} \end{matrix})$ のとき同様に

$| {}^{t}A | = | \begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{n 1} & b_{n 2} & \dots & b_{n n} \end{matrix} |$ $= \sum_{n} sgn (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & n \\ i_{1} & i_{2} & \dots & i_{n} \end{matrix}) b_{1 i_{1}} b_{2 i_{2}} \dots b_{n i_{n}}$ ・・・・・・(2)

となる．

(2)の以下のように式変形をする．

転置行列の性質

$b_{1 i_{1}} = a_{i_{1} 1}$ , $b_{2 i_{2}} = a_{i_{2} 2}$ , $\dots$ , $b_{n i_{n}} = b_{i_{n} n}$ より

$| {}^{t}A | = \sum_{n} sgn (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & n \\ i_{1} & i_{2} & \dots & i_{n} \end{matrix}) a_{i 1} a_{i 2} \dots a_{i_{n} n}$

次に， $a_{i 1} a_{i 2} \dots a_{i n}$ の積の順を行の番号を示す $a_{i j}$ の $i$ の昇べき順に書き換える．

$= \sum_{n} sgn (\begin{matrix} k_{1} & k_{2} & \dots & k_{n} \\ 1 & 2 & \dots & n \end{matrix}) a_{1 k_{1}} a_{2 k_{2}} \dots a_{n k_{n}}$

$(\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & n \\ i_{1} & i_{2} & \dots & i_{n} \end{matrix})$ と $(\begin{matrix} k_{1} & k_{2} & \dots & k_{n} \\ 1 & 2 & \dots & n \end{matrix})$ は置換の相等で $(\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & n \\ i_{1} & i_{2} & \dots & i_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} k_{1} & k_{2} & \dots & k_{n} \\ 1 & 2 & \dots & n \end{matrix})$ であり，対応する数字の対は変わらない．よって，

$sgn (\begin{matrix} k_{1} & k_{2} & \dots & k_{n} \\ 1 & 2 & \dots & n \end{matrix}) = sgn (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & n \\ i_{1} & i_{2} & \dots & i_{n} \end{matrix})$ より

$= \sum_{n} sgn (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & n \\ k_{1} & k_{2} & \dots & k_{n} \end{matrix}) a_{1 k_{1}} a_{2 k_{2}} \dots a_{n k_{n}}$

さらに， $k_{1} \to i_{1}, k_{2} \to i_{2}, \dots, k_{n} \to i_{n}$ に置き換える．

$= \sum_{n} sgn (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & n \\ i_{1} & i_{2} & \dots & i_{n} \end{matrix}) a_{1 i_{1}} a_{2 i_{2}} \dots a_{n i_{n}}$

となり(2)は(1)と等しくなる．

したがって

$| {}^{t}A | = | A |$

となる．

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最終更新日： 2022年10月12日