転置行列の行列式の値が元の行列の行列式の値と等しいことの証明

転置行列の行列式の値が元の行列の行列式の値と等しいことの証明

A=( a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn ) のとき,行列式の定義より

| A |=| a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn | = n sgn( 1 2 n i 1 i 2 i n ) a 1 i 1 a 2 i 2 a n i n ・・・・・・(1)

A t =( b 11 b 12 b 1n b 21 b 22 b 2n b n1 b n2 b nn )  のとき同様に

| A t |=| b 11 b 12 b 1n b 21 b 22 b 2n b n1 b n2 b nn | = n sgn( 1 2 n i 1 i 2 i n ) b 1 i 1 b 2 i 2 b n i n ・・・・・・(2)

となる.

(2)の以下のように式変形をする.

転置行列の性質

b 1 i 1 = a i 1 1 , b 2 i 2 = a i 2 2 , , b n i n = b i n n より

| A t | = n sgn( 1 2 n i 1 i 2 i n ) a i1 a i2 a i n n

次に, a i1 a i2 a in の積の順を行の番号を示す a ij i の昇べき順に書き換える.

= n sgn( k 1 k 2 k n 1 2 n ) a 1 k 1 a 2 k 2 a n k n

( 1 2 n i 1 i 2 i n ) ( k 1 k 2 k n 1 2 n ) 置換の相等 ( 1 2 n i 1 i 2 i n )=( k 1 k 2 k n 1 2 n ) であり,対応する数字の対は変わらない.よって,

sgn( k 1 k 2 k n 1 2 n )=sgn( 1 2 n i 1 i 2 i n ) より

= n sgn ( 1 2 n k 1 k 2 k n ) a 1 k 1 a 2 k 2 a n k n

さらに, k 1 i 1 , k 2 i 2 ,, k n i n  に置き換える.

= n sgn ( 1 2 n i 1 i 2 i n ) a 1 i 1 a 2 i 2 a n i n

となり(2)は(1)と等しくなる.

したがって

| A t |=| A |

となる.

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最終更新日: 2022年10月12日