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たわみ曲線の微分方程式

ヤング率が${\displaystyle E}$ ，断面2次モーメントが ${\displaystyle I}$ である梁において，曲げモーメント ${\displaystyle M}$と梁のたわみ${\displaystyle v}$ との間には

${\displaystyle \frac{d^{2}v}{d{x}^2}=-\frac{M}{EI}}$

で表される関係が成り立つ．この関係式のことをたわみ曲線の微分方程式という．

■導出

荷重によって梁がたわむ場合，下方にたわむことが多い．そのため，たわみ量${\displaystyle v}$ は下向きを正方向にするのがい一般的である．梁の中心線の関数${\displaystyle Y}$ とたわみ量${\displaystyle v}$の間には

${\displaystyle v\left(x\right)=Y_0-Y\left(x\right)}$ 　

${\displaystyle Y\left(x\right)=Y_0-v\left(x\right)}$　･･････(1)

となる関係が成り立つ．

一方，ヤング率が${\displaystyle E}$ ，断面2次モーメントが${\displaystyle I}$ である梁において，梁の曲率${\displaystyle \frac{d^{2}Y}{d{x}^2}}$ と曲げモーメント${\displaystyle M}$ との間には

${\displaystyle M=EI\frac{d^{2}Y}{d{x}^2}}$　･･････(2)

という関係がある．⇒ここを参照

(1)を(2)に代入すると

${\displaystyle M=-EI\frac{d^{2}v}{d{x}^2}}$ 　

${\displaystyle \frac{d^{2}v}{d{x}^2}=-\frac{M}{EI}}$

となる．

　 　

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最終更新日2017年5月30日

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