梁が曲がったときの歪と応力

梁が図のように曲がったとき，中立面から y の位置の層の梁の長さ方向の歪 ε x は

ε x =− y R

応力 σ x は

σ x =− E R y

と表される．

■導出

梁に正の曲げモーメントが働いたとき，梁は下に凸に曲がる．梁の微少な長さ ds の右側断面に生じる応力を考える．図のように中立面の梁の長さ方向に x 軸をとり，曲がった梁の曲率半径の中心方向に y 軸をとる．中立面に平行で y 軸の値が y である梁の微少な長さ ds は梁が曲がることにより d s ′ に変化する．よって長さ方向の歪 ε x は

ε x = d s ′ −ds ds

となる．梁の曲率半径を R とし，梁の微少長さ ds に対応する中心角を dθ とすると

ds=Rdθ

d s ′ =( R−y )dθ

となる．よって

ε x = ( R−y )dθ−Rdθ Rdθ =− y R

となる．応力 σ と歪 ε みの関係は

σ=Eε

より

σ x =− E R y

となる．

　

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最終更新日2017年5月30日