合成関数の微分
y=f(
u
)
,
u=g(
x
)
のとき, uを消去すると,
y=f(
g(
x
)
)
となる。これを,
y=f(
u
)
,
u=g(
x
)
の 合成関数という。
合成関数を 導関数の定義に従って微分する。
dy
dx
=
lim
h→0
f(
g(
x+h
)
)−f(
g(
x
)
)
h
=
lim
h→0
{
f(
g(
x+h
)
)−f(
g(
x
)
)
g(
x+h
)−g(
x
)
⋅
g(
x+h
)−g(
x
)
h
}
ここで,
g(
x+h
)−g(
x
)=j
とおくと,
g(
x+h
)=g(
x
)+j=u+j
となる。
よって,
=
lim
h→0
{
f(
u+j
)−f(
u
)
j
⋅
g(
x+h
)−g(
x
)
h
}
h→0
ならば,
j→0
となる。
よって,
=
lim
j→0
{
f(
u+j
)−f(
u
)
j
}
⋅
lim
h→0
{
g(
x+h
)−g(
x
)
h
}
=
f
′
(
u
)⋅
g
′
(
x
)
(導関数を参照 ⇒)
=
dy
du
⋅
du
dx
合成関数の導関数を以下のように表す場合もある。
{
f(
g(
x
)
)
}
′
=
f
′
(
g(
x
)
)⋅
g
′
(
x
)
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