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商の微分
{ f( x ) g( x ) } ′ = f ′ ( x )g( x )−f( x ) g ′ ( x ) { g( x ) } 2

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f ′ ( x )= lim⁡ h→0 f( x+h )−f( x ) h = lim⁡ h→0 h( x+h ) g( x+h ) − h( x ) g( x ) h = lim⁡ h→0 h( x+h )g( x )−h( x )g( x+h ) g( x+h )g( x ) h
= lim⁡ h→0 { 1 g( x+h )g( x ) ⋅ h( x+h )g( x )−h( x )g( x+h ) g( x+h )g( x ) } ={ lim⁡ h→0 1 g( x+h )g( x ) } { lim⁡ h→0 [ h( x+h )g( x )−h( x )g( x ) h h( x )g( x )−h( x )g( x+h ) h ] }

={ lim⁡ h→0 1 g( x+h )g( x ) } { lim⁡ h→0 [ [ h( x+h )−h( x ) ]g( x ) h + h( x )[ g( x )−g( x+h ) ] h ] }

={ lim⁡ h→0 1 g( x+h )g( x ) } { [ lim⁡ h→0 h( x+h )−h( x ) h ]g( x ) −h( x )[ lim⁡ h→0 g( x+h )−g( x ) h ] }

= h ′ ( x )g( x )−h( x ) g ′ ( x ) g ( x ) 2
　　　　　　（ここを参照⇒）

よって,
{ h( x ) g( x ) } ′ = h ′ ( x )g( x )−h( x ) g ′ ( x ) g ( x ) 2
である。

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