立方根

$3$\displaystyle{ {x}^{3}=1 }$ の解

$3$ {x}^{3}=1$ の解は複素数を学習する上で非常に重要な式です。このページで詳しく解説する。

$3$ {x}^{3}=1$ の解を求める。

まず， $3$ {x}^{3}-1=0$ の形にして因数分解する。

$3$ $ x- 1 $ $ {x}^{2}+x+1 $ =0$ ･･････(1)

(1)より，

$3$ x- 1 =0$ または， $3${x}^{2}+x+1=0$

$3${x}^{2}+x+1=0$ を解の公式を使って解くと，

$3$\displaystyle{ x=\frac{\hspace{2} - 1\pm \sqrt{ {1}^{2}- 4\cdot 1\cdot 1 } \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$
$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} - 1\pm \sqrt{ - 3 } \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} - 1\pm \sqrt{3}i \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$
$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\pm \frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}i }$

となり虚数解（ここを参照）となる。

以上より， $3$ {x}^{3}=1$ の解は

1， $3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\mathbb{{i}}}$ ， $3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}-\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\mathbb{{i}}}$

となる。

理解をさらに深めるために求まった解を極形式に変えてみる(偏角 $3${\theta}$ の範囲を $3$0^\circ < {\theta}< 360^\circ$ とする)。

$3$1=\cos 0^\circ +\sin 0^\circ$ 　

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\mathbb{{i}}=\cos 120^\circ +\mathbb{{i}}\sin 120^\circ }$ 　

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}-\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\mathbb{{i}}=\cos 240^\circ +\mathbb{{i}}\sin 240^\circ }$ 　

となり，複素数の絶対値が1で偏角が0°，120°，240°の120°間隔になっている特徴がある。

$3$ {x}^{3}=1$ の3つの解を複素平面上に表すと下図のようになる。

半径1の円上に $3$x=1$ を起点として 120°( $3$=\frac{\hspace{2} 360^\circ \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}$ )づつ正の方向に回転したところに解が存在する。

　 $3$\displaystyle{{\omega}=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\mathbb{{i}}}$ 　とおく（ $3${\omega}$ を1の原始立方解（虚数立方解）という）と, $3${\omega}\cdot {\omega}={{\omega}}^{2}$ は複素数の積の特徴より複素数 $3${\omega}$ を120°回転させた複素数になる。すなはち $3$ {x}^{3}=1$ の虚数解のもう一方 $3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}-\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\mathbb{{i}}}$ と一致する。

　この複素数の積の特徴を利用して，さらに $3$ {x}^{3}=1$ の解について考えてみる。

$3$x=1$ に $3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\mathbb{{i}} $ =\cos 120^\circ +\mathbb{{i}}\sin 120^\circ $ }$ を3回掛けると360°回転して元に戻る。式で表すと，

$3$\displaystyle{ \begin{array}{lll} 1\cdot $- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}\sqrt{3}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\mathbb{{i}}$$- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}\sqrt{3}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\mathbb{{i}}$$- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}\sqrt{3}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\mathbb{{i}}$ & \vspace{6}\\ \begin{array}{lll}={ $- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}\sqrt{3}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\mathbb{{i}}$ }^{3}& \vspace{6}\\ ={ $\cos 120^\circ +\mathbb{{i}}\sin 120^\circ $ }^{3}& \vspace{6}\\ \end{array}& \vspace{6}\\ \begin{array}{lll}=\{\cos $120^\circ \times 3$+\mathbb{{i}}\sin $120^\circ \times 3$\}& \vspace{6}\\ =\cos 360^\circ +\mathbb{{i}}\sin 360^\circ & \vspace{6}\\ \end{array}& \vspace{6}\\ =1 & \vspace{6}\\ \end{array} }$

$3$x=1$ に $3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}-\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\mathbb{{i}} $ =\cos 240^\circ +\mathbb{{i}}\sin 240^\circ $ }$ を3回掛けると720°回転して元に戻る。式で表すと，

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}1\cdot $- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}\sqrt{3}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\mathbb{{i}}$$- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}\sqrt{3}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\mathbb{{i}}$$- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}\sqrt{3}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\mathbb{{i}}$& \vspace{6}\\ ={ $- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}\sqrt{3}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\mathbb{{i}}$ }^{3}& \vspace{6}\\ ={ $\cos 240^\circ +\mathbb{{i}}\sin 240^\circ $ }^{3}& \vspace{6}\\ =\{\cos $240^\circ \times 3$+\mathbb{{i}}\sin $240^\circ \times 3$\}& \vspace{6}\\ =\cos 720^\circ +\mathbb{{i}}\sin 720^\circ & \vspace{6}\\ =1& \vspace{6}\\ \end{array}}$

このような特徴を一般化したものがド・モアブルの定理であり， $3${z}^{n}={\alpha}$ の解である。

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