正弦定理の証明(1)

三角形の頂点 $3$\displaystyle{\text{C}}$ から辺 $3$\displaystyle{\text{AB}}$ に垂線 $3$\displaystyle{\text{CD}}$ を引く。
直角三角形 $3$\displaystyle{\text{ACD}}$ と直角三角形 $3$\displaystyle{\text{BCD}}$ ができる。(下図)

直角三角形の辺と三角比から

$3$\displaystyle{\triangle \text{ACD}}$ より

$3$\displaystyle{\sin A=\frac{\hspace{2} \text{CD} \hspace{2}}{\hspace{2} \text{AC} \hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{\text{CD}=\text{AC}\sin A}$

$3$\displaystyle{\triangle \text{BCD}}$ より

$3$\displaystyle{\sin B=\frac{\hspace{2} \text{CD} \hspace{2}}{\hspace{2} \text{BC} \hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{\text{CD}=\text{BC}\sin B}$

$3$\displaystyle{{}_\bullet\limits{ }^\bullet {}_\bullet \text{AC}\sin A=\text{BC}\sin B}$

上式を変形して，

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \text{BC} \hspace{2}}{\hspace{2} \sin A \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} \text{AC} \hspace{2}}{\hspace{2} \sin B \hspace{2}}}$

よって，

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}\text{a}\hspace{2}}{\hspace{2} \sin A \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}\text{b}\hspace{2}}{\hspace{2} \sin B \hspace{2}}}$ ･･･(1)
　　　( $3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet \text{a}=\text{BC},\text{b}=\text{AC}}$ )

三角形に垂線 $3$\displaystyle{ \text{BE},\text{AF} }$ を引き，同様に考えると，

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}\text{a}\hspace{2}}{\hspace{2} \sin A \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}\text{c}\hspace{2}}{\hspace{2} \sin B \hspace{2}}}$ ･･･(2)

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}\text{b}\hspace{2}}{\hspace{2} \sin B \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}\text{c}\hspace{2}}{\hspace{2} \sin C \hspace{2}}}$ ･･･(3)

よって，(1)，(2)，(3)より，

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}\text{a}\hspace{2}}{\hspace{2} \sin A \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}\text{b}\hspace{2}}{\hspace{2} \sin B \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}\text{c}\hspace{2}}{\hspace{2} \sin C \hspace{2}}}$

となる。

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