連続的な電荷分布による電場 (Electric field by continuous charge distribution)

電荷が空間内の領域 ${\displaystyle V}$ に連続的に分布しているとし，位置 ${\displaystyle r}$ における電荷密度を ${\displaystyle \rho (r)}$ とする．また，この電荷分布による電場を ${\displaystyle E}$ とする．

領域 ${\displaystyle V}$ を，体積 ${\displaystyle \Delta V_i=\Delta x_i\Delta y_i\Delta z_i}$ ${\displaystyle (i=1,\cdots ,n)}$ を持つ ${\displaystyle n}$ 個の微小な領域に分割し， ${\displaystyle \Delta V_i}$ 内にある電荷の量を ${\displaystyle Q_i}$ とすると， ${\displaystyle Q_i=\rho (r_i)\Delta V_i}$ と書ける．ここで， ${\displaystyle r_i}$ は領域 ${\displaystyle \Delta V_i}$ の位置ベクトルである．領域 ${\displaystyle V}$ 内の電荷分布を ${\displaystyle n}$ 個の電荷 ${\displaystyle Q_1,\cdots ,Q_n}$ の集まりと考えれば， ${\displaystyle E}$ は複数の電荷による電場として求められる．つまり，それぞれの電荷 ${\displaystyle Q_i}$ が作る電場 ${\displaystyle \Delta E_i}$ の和として，

${\displaystyle E(r)=\sum _{i=1}^n\Delta E_i(r)}$ ･･････(1)

${\displaystyle \Delta E_i(r)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\rho (r_i)\Delta V_i}{|r-r_i{|}^3}(r-r_i)}$ ･･････(2)

となる．分割数 ${\displaystyle n}$ が大きい極限を考えて(1)式の和を積分で置き換えれば，

${\displaystyle E(r)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}{\int }_V\frac{r-r^{\prime }}{|r-r^{\prime }{|}^3}\rho (r^{\prime })d{V}^{\prime }}$ ･･････(3)

が得られる．(3)式において ${\displaystyle r^{\prime }=(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }),d{V}^{\prime }=d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }d{z}^{\prime }}$ であり，積分領域は ${\displaystyle V}$ である．

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学生スタッフ作成

2026年5月18日