複数の電荷による電場 (Electric field by multiple charges)

真空中に１つの電荷 ${\displaystyle q}$ と ${\displaystyle n}$ 個の電荷 ${\displaystyle Q_1,\cdots ,Q_n}$ があるとき，電荷 ${\displaystyle q}$ が他の電荷から受けるクーロン力の和 ${\displaystyle F}$ は，重ね合わせの原理により

${\displaystyle F=\sum _{i=1}^n{F}_i}$ ･･････(1)

${\displaystyle F_i=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q{Q}_i}{|r_0-r_i{|}^2}{\widehat{r}}_{i0}}$ ･･････(2)

で与えられる．ここで， ${\displaystyle r_0}$ ， ${\displaystyle r_i}$ はそれぞれ電荷 ${\displaystyle q}$ と ${\displaystyle Q_i}$ の位置ベクトル， ${\displaystyle {\widehat{r}}_{i0}=\frac{r_0-r_i}{|r_0-r_i|}}$ は電荷 ${\displaystyle Q_i}$ から ${\displaystyle q}$ に向かう方向の単位ベクトルである．(1)，(2)式は，電荷 ${\displaystyle Q_i}$ が作る電場 ${\displaystyle E_i(r)}$ を用いて，

${\displaystyle F=q\sum _{i=1}^n{E}_i(r_0)}$ ･･････(3)

${\displaystyle E_i(r)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q_i}{|r-r_i{|}^3}(r-r_i)}$ ･･････(4)

と書くことができる．(3)式を，

${\displaystyle F=qE(r_0)}$ ･･････(5)

${\displaystyle E(r)=\sum _{i=1}^n{E}_i(r)}$ ･･････(6)

と書けば，電荷 ${\displaystyle q}$ は電場 ${\displaystyle E}$ によって力 ${\displaystyle F}$ を受けると考えることができる．この電場 ${\displaystyle E}$ は、 ${\displaystyle n}$ 個の電荷 ${\displaystyle Q_i}$ それぞれが独立に作る電場 ${\displaystyle E_i}$ のベクトル和で与えられる．

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学生スタッフ作成

2026年5月18日