電荷が連続的に分布している場合のガウスの法則

[電荷が連続的に分布している場合]

位置 ${\displaystyle r}$ における電荷密度を ${\displaystyle \rho \left(r\right)}$ とする．空間を多数の微小領域に分割し， ${\displaystyle i}$ 番目の微小領域の体積を ${\displaystyle d{V}_i}$ とすると，その内部にある電荷は ${\displaystyle \rho \left(r\right)d{V}_i}$ と書くことができる．この電荷を点電荷とみなしてガウスの法則を適用する．

閉曲面 ${\displaystyle S}$ を考えると，その外部の電荷による(1)式の面積分への寄与は0になるので，

${\displaystyle {\oint }_{S}E\cdot dS=\frac{1}{{\epsilon }_0}{\displaystyle \sum _{i:Sの内部}\rho \left(r_i\right)d{V}_i}}$

が得られる．分割数が大きい極限 ${\displaystyle (d{V}_i\to 0)}$ を考えると，右辺は積分で置き換えられ，

${\displaystyle {\oint }_{S}E\cdot dS=\frac{1}{{\epsilon }_0}{\int }_V\rho \left(r\right)dV}$

となる．ここで，右辺の積分は閉曲面 ${\displaystyle S}$ 内における空間積分である．閉曲面内の全電荷を ${\displaystyle Q}$ と書くと， ${\displaystyle Q={\int }_V\rho \left(r\right)dV}$ であるから，(1)式

${\displaystyle {\displaystyle {\oint }_{S}E\cdot }dS=\frac{Q}{{\epsilon }_0}}$

を得る．

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学生スタッフ作成

2024年3月11日