多数の点電荷がある場合のガウスの法則

[多数の点電荷がある場合]

閉曲面 ${\displaystyle S}$ について， ${\displaystyle S}$ の内側にある点電荷を ${\displaystyle Q_1}$, ${\displaystyle Q{}_2}$ ,･･･, ${\displaystyle Q{}_n}$ とし， ${\displaystyle S}$ の外側にある点電荷を ${\displaystyle Q_{n+1}}$ , ${\displaystyle Q_{n+2}}$ ,･･･, ${\displaystyle Q_{n+m}}$ とする．全ての点電荷による電場ベクトルは，重ね合わせの原理から

${\displaystyle E\left(r\right)={\displaystyle \sum }_{i=1}^{n+m}{E}_i\left(r\right)}$

と書くことができる．ここで， ${\displaystyle E_i\left(r\right)}$ は，${\displaystyle i}$ 番目の点電荷による電場ベクトルである. したがって，(1)式の左辺は

${\displaystyle {\displaystyle {\oint }_{S}E\left(r\right)\cdot dS=}{\displaystyle \sum }_{i=1}^{n+m}{\displaystyle {\oint }_S{E}_i\left(r\right)}\cdot dS}$
${\displaystyle \phantom{{\oint }_{S}E\left(r\right)\cdot dS}={\displaystyle \sum }_{i=1}^n{\displaystyle {\oint }_S{E}_i\left(r\right)}\cdot dS+{\displaystyle \sum }_{i=1}^m{\displaystyle {\oint }_S{E}_{n+i}\left(r\right)}\cdot dS}$

となる．ここで，${\displaystyle S}$ の外側にある点電荷について ${\displaystyle {\displaystyle {\oint }_S{E}_{n+i}\left(r\right)}\cdot dS=0\left(i=1,\cdot \cdot \cdot ,m\right)}$ が成り立ち， ${\displaystyle S}$ の内側にある点電荷については ${\displaystyle {\displaystyle {\oint }_S{E}_i\cdot }dS=\frac{Q_i}{{\epsilon }_0}\left(i=1,\cdot \cdot \cdot ,n\right)}$ となる．以上から，

${\displaystyle {\displaystyle {\oint }_{S}E\left(r\right)\cdot dS=\frac{1}{{\epsilon }_0}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{Q}_i}}}$

が得られ，(1)式が成り立つことが分かる．

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学生スタッフ作成

2024年3月11日